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Z 변환(Z-transform), 적분과 1차 함수 그리고 데드 타임(Integrator with first order and dead time) Integrator with first order and dead time,  Laplace 모델의  Z 변환은 역변환된 시간함수로 구한다. \[ f(t)=f(t-θ)\frac{1}{τ_1} \left(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  t}\right) \] 적분과 데드타임으로 이루어진 1차 함수의 Z 변환과 특성 위의 역변환된 시간함수를 라플라스 & Z 변환표를 참조하여 변환한다. \[ δ(n-k)  → Z→ Z^{-k} \] \[ 1(k)  → Z→  \frac{1}{1-z^{-1} } \] \[ e^{-akT}  → Z→  \frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1}}  \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(\frac{τ_1}{τ_2}\) T이다. \[ \begin{align} F(z)&= z^{-θ} \frac{1}{τ_1}  \left(\frac{1}{1-z^{-1}}-\frac{1}{1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}  z^{-1}}\right)\\[12pt]&= z^{-θ}  \frac{1}{τ_1} \left\{\frac{(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}  z^{-1} )-(1-z^{-1} )}{(1-z^{-1} )(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  T}  z^{-1} } \right\}\\[12pt]&= z^{-θ} \frac{1}{τ_1}  \left\{\frac{(-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}+1) z^{-1}}{1+(-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  T}+1) z^{-1}+e^{-...

Z 변환(Z-transform), 적분과 데드타임(Integrator with dead time) 계단 함수(Step function)의 정의를 살펴보자. \[ f(t)=\begin{cases} 1 & (t≥0) \\ 0 & (t<0) \end{cases} \] 계단함수의 Z 변환은 아래와 같이 표현된다. \[ \begin{align} F(z)&=Z[f(k)]=\sum_{k=0}^∞ z^{-k}\\[12pt]&=1+z^{-1}+z^{-2}+⋯\\[12pt]&=  \frac{1}{1-z^{-1} } \end{align} \] 계단함수의 Z변환은 아래와 같다. \[ Z[f(t-nT)]=z^{-n} F(z)\] 적분과 데드타임으로 이루어진 Z 변환 함수의 특성 계단 함수 x(kT)를 1T만큼 지연 시킨 함수 x(k-T)는 아래와 같다. \[ x(k-T)=\begin{cases}1   & (k≥T) \\ 0   & (k<T) \end{cases} \] 이것을 Z 변환으로 표현하면 다음과 같다. \[ Z[x(kT-T)]=z^{-1} Z[x(kT)]= \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \] 시간 지연을 가지는 함수로 표현하자. \[ \begin{align} L\left(\frac{e^{-θs}}{τS}\right)&=e^{-θs}\cdot \frac{1}{τ}\cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=\frac{1}{τ}\cdot Z[f(kT-θT)\cdot 1(k)]\\[12pt]&=Kp\cdot z^{-θ} Z[1(k)]= \frac{ \frac{1}{τ}\cdot z^{-θ}}{1-z^{-1} } \end{align} \] 차분 방정식 형태로 나타내자. \[ F(z)=\frac{Output(zero-state response)}{Input}=\frac{Y(z)}{X(z)}\] \[ (Input)Y(z)=(Output)...

Z 변환(Z-transform), 시상수로 이루어진 2차 전달 함수 각각의 시상수를 가진 2차 시스템의 Z 변환은 Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달함수의 관계식에 대입하여 구한다. \[ \begin{align} F(z)&=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1} )Z\left\{\frac{ \frac{K_p e^{-θs}}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{Kpe^{-θs}}{s^2 (1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{Kpe^{-θs}  \frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \] 시상수로 이루어진 2차 전달 함수의 응답 특성 위의 수식에서 \(e^{-θs}\)는 \(z^{-k}\)와 같으므로 \(z^{-θ}\)이고, Kp는 상수이다.  \[=Kp z^{-θ}(1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}  \frac{1}{s} \right\} \] \(\frac{1}{s}\)은 라플라스와 Z 변환표를 참조하여 정리한다. \[ \begin{align} =Kp z^{-θ} (1-z^{-1} )\left( \frac{1}{1-z^{-1} }\right)Z\left\{\frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)} \right\} \end{align}\] \[ =Kp z^{-θ} Z\left\{\frac{1}{s}+\left(\frac{τ_1}{τ_2-τ_1}\right) \cdot \left(\frac{1}{s+\frac{1}{τ_1}}\right)-\left(\frac...

Z 변환(Z-transform), Overdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ>1 역변환된 시간함수로 구한다. 역변환된 함수는 다음과 같다. \[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1}(ζ-\sqrt{ζ^2-1})}+\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) }  \right\} \] \[ \begin{align} =K_p\cdot f(t-θ)& \left\{1-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1}) }e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\right.\\[12pt]&\left.+  \frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1} ) }e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t} \right\} \end{align} \] ζ>1, Overdamped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 참조하자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ 1 → Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \] \[ e^{-akT}  → Z→  \frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1} } \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 각각 \((ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \), \((ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left(\frac{1}{1-z^{-1}}-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} \frac{1}{1-e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n T} z^{-1} ...

Z 변환(Z-transform), Critically damped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ=1 역변환된 시간함수로 구한다. \[ \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 }  \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\}\\[12pt]&=K_p\cdot f(t-θ)\cdot (1-e^{-ω_n t}-e^{-ω_n t} ω_n t) \end{align} \] ζ=1, Critically damped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 살펴보자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ kTe^{-akT} → Z→ \frac{ Te^{-aT} z^{-1}}{(1-e^{-aT} z^{-1})^2} \] \[ 1-e^{-akT} → Z→  \frac{(1-e^{-aT})z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-e^{-aT} z^{-1})} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(kTe^{-akT}\)의 k는 \(ω_n\)이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(ω_n\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p \cdot z^{-θ} \cdot &\left\{\frac{(1-e^{-ω_n T} ) z^{-1}}{(1-z^{-1} )(1-e^{-ω_n T} z^{-1}) } \right. \\[12pt] & \left.-ω_n  \frac{Te^{-ω_n T} z^{-1}}{(1-e^{-ω_n T} z^{-1} )^2} \right\} \end{align} \] \(e^{-ω_n T}\)를 e로 대치하고 전개한다. \[ \begin{align} K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left\{\frac{z^{-...

Z 변환(Z-transform), Underdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  1>ζ>0 역변환된 시간함수로 구한다. 역변된 함수는 아래와 같다. \[ K_p e^{-θs} \left\{\frac{1}{s}-\frac{s+ζω_n}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2 }-\frac{ζω_n}{ω_d}   \frac{ω_d}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2}\right\} \] \[→ L^{-1}→\] \[ K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-e^{-ζω_n t} cos⁡ω_d  t-\frac{ζω_n}{ω_d} e^{-ζω_n t} sin⁡ω_d t \right\} \] 1>ζ>0, Underdamped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 참조하자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ 1 → Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \] \[ \begin{align} e^{-akT}  &cos⁡ω kT \ → Z→ \\[12pt] &\frac{1-e^{-aT} z^{-1}  cos⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT}z^{-2}} \end{align} \] \[ \begin{align} e^{-akT}  &sin⁡ω kT \ → Z→  \\[12pt] &\frac{1-e^{-aT} z^{-1} sin⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT} z^{-2}} \end{align} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}  cos⁡ω kT\)와 \(e^{-akT}  sin⁡ω kT \)의 a는 \(ζω_n\)이고, ω는 \(ω_d\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p \cdot z^{-θ} &\c...

Z 변환(Z-transform), Undamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ=0 Damping ratio ζ와 고유진동수 \(ω_n\)으로 이루어진 laplace 2차 함수의 Z 변환은 역변환된 시간 함수로부터 구한다. \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t ) \  \ where \ ζ=0 \end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{ 1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}sin⁡\left(ω_n \sqrt{1-ζ^2} t+cos^{-1}ζ\right) \right\} \ where  \ 1>ζ>0 \end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\} \ where \ ζ=1\end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}+\frac{e^{-(ζ+\sq...

  라플라스(Laplace) & Z 변환(Z-transform) 변환표(Conversion table) 시간 함수로 표현 되는 연속 시스템 함수 f(t)의 라플라스로 변환된 함수 F(s)와 등가 디지털 신호인 이산 신호 f(kT) 그리고 Z 변환된 함수 F(z)의 관계에 따른 변환표이다. 라플라스(Laplace) 변환표(Conversion table) 시간 t가 0 이상일 때 1의 값을 가지는 함수 u(t)가 있을 때 이를 라플라스 함수로 변환하면  \(\frac{1}{s}\)가 된다. \[ u(t) = \begin{cases} 0 & \ (t<0) \\ 1 & \, \, (t \ge 0) \end{cases} \] 이처럼 계단 함수(Step function)는 라플라스 정의에 따라 \(\frac{1}{s}\) 가 된다. \[ \begin{align} L[u(t) &= \int_0^\infty u(t) e^{-st}dt = \int_0^\infty 1 \cdot e^{-st}dt \\[12pt] &= \left[\frac{e^{-st}}{-s} \right]_0^\infty = \frac{1}{s} \end{align} \] 계단 함수 u(t)는 시간에 따라 표현 되는 시간 함수이고 계단 함수를 라플라스 변환하면 \(\frac{1}{s}\)가 된다.  시간 함수를 f(t)로 라플라스 함수는 F(s)로 나타낸 테이블이다. No. \[f(t)\] \[F(s)\] 1 \[1(t)\] \[\frac{1}{s}\] 2 \[t^n, \ \ n>0\] \[\frac{n!}{s^{n+1}}\] 3 \[e^{-at}\] \[\frac{1}{s+a}\] 4 \[te^{-at}\] \[\frac{1}{(s+a)^2}\] 5 \[1-e^{-at}\] \[\frac{a}{s(s+a)}\] 6 \[sin\omega t\] \[\frac{\o...

2차 전달 함수에서 시상수로 이루어진 경우를 살펴보자. 시상수로 이루어진 2차 함수의 Z 변환은 Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달함수의 관계에 2차 함수를 대입하여 구할 수 있다. \[ \begin{align} F(z)&=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\}=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{\frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{ \frac{K_pe^{-θs}}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{K_pe^{-θs}\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \] 여기서 \(e^{-θs}\)는 \(z^{-k}\)와 같으므로 \( z^{-θ}\)이고, \(K_p\)는 상수이다. \[=K_p z^{-θ}(1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \] \(\frac{1}{s}\)은 라플라스 & Z-변환표를 참조하여 정리한다. \[ \begin{align} &=K_p z^{-θ}(1-z^{-1})\left( \frac{1}{1-z^{-1}}\right)Z\left\{\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ}Z\left\{\frac{1}{τ_1 τ_2 s^2+τ_1 s+τ_2 s+1}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ} Z\left\{\frac{\frac{1}{τ_1 τ_2 }}{s^2+\frac{τ_1 s}{τ_1 τ_2}+\frac{τ_2 s}{τ_1 τ_2 }...

2차 전달 함수에서 Damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 경우를 살펴보자. Damping ratio( ζ )와 고유진동수( ω_n )로 이루어진 laplace 2차함수의 Z 변환은 역변환 시간함수로 구한다. \[ \begin{align} L[F(s)] &=  \frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 }\\[12pt] &=K_p\cdot f(t-θ)\cdot \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}\cdot e^{-ζω_n t} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} t \end{align} \] 라플라스 & Z 변환표를 참조하면 \[ δ(n-k)  → Z→ Z^{-k} \] \[ e^{-akT} sin⁡ω kT → Z→  \frac{e^{-aT} z^{-1}  sin⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT} z^{-2}} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(ζ ω_n\)이며, cos⁡ω T 의 ω는 \(ω_n \sqrt{1-ζ^2}\) 이다. \[ \begin{align} F(z)&=K_p\cdot z^{-θ}\cdot \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}\\[12pt] &\cdot \frac{e^{-ζ ω_n T}z^{-1}  sin⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2 } T}{1-2e^{-ζ ω_n T} z^{-1}  cos⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2} T+e^{-2ζ ω_n T}z^{-2}}\\[12pt] &=\frac{K_p  \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}e^{-ζ ω_n T} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} T z^{-θ-1}}{1-2e^{-ζ ω_n T}  cos⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2} T z^{-1}+e^{-2ζ ω_n T...

이득을 가진 데드 타임 1차 함수( First order with dead time and gain)의  Z 변환 앞에서 서술한   이득을 가진 데드 타임 1차 함수( First order with dead time and gain)의 라 플라스 변환을 Z 변환을 통한 차분 방정식(Difference Equation)을 활용하여 디지털 시스템에 적용해 보자. Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달 함수의 관계에서 이득을 가진 데드 타임 1차 함수를 대입하면 다음과 같다. \[ \begin{align} F(z) &=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac {\frac{K_p e^{-θs}}{1+τs}}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{K_p e^{-θs}}{s(1+τs)}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{K_p e^{-θs}\frac{1}{τs+1}\frac{1}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{K_p e^{-θs} \frac{1}{τ}\frac{1}{s+\frac{1}{τ}}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \] 여기서 \( e^{-θs} \)는 \(z^{-k} \)와 같으므로 \( z^{-θ}\)이고, \( K_p\)와 \(\frac{1}{τ}\)은 상수이므로   \[ =K_p  \frac{1}{τ} z^{-θ} (1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{s+\frac{1}{τ}}  \frac{1}{s}\right\} \] 로 나타낼 수 있고, \( \frac{1}{s}\)의 역변환은 \(u(t)\)...

데드 타임과 이득( Dead time with gain) 데드 타임(Dead time) Dead time은 입력에 따라 출력이 변하는 시스템에서 입력 시점에서 출력 시점까지, 입력 변화에 따른 출력 변화가 나타나기까지 시간이 걸리는데 이 지연되는 시간을 데드 타임이라고 한다. 이러한 시스템을 모델로 만들 때 지연 특성(time shift, delay time)을 반영하고 이것을 수식으로 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있다. \[ K_{p} e^{-\theta s} \] Kp는 시스템 이득 또는 프로세스 이득(Gain)이고 θ는 데드 타임이다. 데드 타임의 라플라스 모델 위의 식을 Laplace 모델로서 시간에 대한 함수로 표현하면 \[ f(t) = K_p L(e^{(-\theta s)}) = K_p \cdot f(t-\theta) \] 여기에서 \( L(e^{(-\theta s)} ) \)의 L(  )은 괄호 안의 수식이 Laplace 영역(domain)이다. 그리고 우변 항의 \( K_p \)는 시스템 이득을 나타낸다. \( e^{(-\theta s)} \)는 지연 특성을 나타내는 것으로 \( f(t-\theta) \)로 표현할 수 있다. 이것은 연결된 함수를 θ만큼 이동한 것으로 그림으로 표현하면 아래와 같다.   지연 특성 이 함수는 \[ g(t) = \begin{cases} 0 & \ (t < \theta) \\ f(t-\theta) & \ (t\ge \theta) \end{cases} \] 으로 정의된다. 이것을 변환하면 \[ \begin{align} L[g(t)] &= \int_0^\infty e^{-st}g(t)dt \\[10pt] &= \int_0^\theta e^{-st}g(t)dt + \int_\theta^\infty e^{-st}g(t)dt \end{align} \] 우변 항의 0에서 θ구간은 0이고, θ에서 ∞구간은 \( f(t-\theta)\)이다. \[ \begi...