18. Z 변환(Z-transform), 시상수로 이루어진 2차 전달 함수


Z 변환(Z-transform), 시상수로 이루어진 2차 전달 함수


각각의 시상수를 가진 2차 시스템의 Z 변환은 Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달함수의 관계식에 대입하여 구한다.


\[ \begin{align} F(z)&=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1} )Z\left\{\frac{ \frac{K_p e^{-θs}}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{Kpe^{-θs}}{s^2 (1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{Kpe^{-θs}  \frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \]




시상수로 이루어진 2차 전달 함수의 응답 특성



위의 수식에서 \(e^{-θs}\)는 \(z^{-k}\)와 같으므로 \(z^{-θ}\)이고, Kp는 상수이다. 


\[=Kp z^{-θ}(1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}  \frac{1}{s} \right\} \]


\(\frac{1}{s}\)은 라플라스와 Z 변환표를 참조하여 정리한다.


\[ \begin{align} =Kp z^{-θ} (1-z^{-1} )\left( \frac{1}{1-z^{-1} }\right)Z\left\{\frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)} \right\} \end{align}\]

\[ =Kp z^{-θ} Z\left\{\frac{1}{s}+\left(\frac{τ_1}{τ_2-τ_1}\right) \cdot \left(\frac{1}{s+\frac{1}{τ_1}}\right)-\left(\frac{τ_2}{τ_2-τ_1}\right) \cdot \left(\frac{1}{s+\frac{1}{τ_2} }\right) \right\} \]

\(\frac{τ_1}{τ_2-τ_1}\)은 아래와 같고

\[ \frac{τ_1}{τ_2-τ_1}=\frac{τ_2}{τ_2-τ_1}-1 \]

라플라스와 Z 변환표를 다시 참조한다.

\[ \frac{1}{s}→L^{-1}→1→ Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \]
\[ \frac{1}{s+a}→ L^{-1}→e^{-at}→ Z→  \frac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}}\]

δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-at}\)의 a는 각각 \(\frac{1}{τ_1} , \ \frac{1}{τ_2}\)이다.


\[ \begin{align} &=Kp z^{-θ} \left\{\frac{1}{1-z^{-1}}+\left(\frac{τ_2}{τ_2-τ_1}-1\right)\cdot  \frac{1}{1-e^{-\frac{T}{τ_1}}z^{-1} }-\left(\frac{τ_2}{τ_2-τ_1}\right)\cdot \frac{1}{1-e^{-\frac{T}{τ_2 }} z^{-1} }\right\} \\[12pt]&=Kp z^{-θ} \left\{ \frac{1}{1-z^{-1} }+ \frac{\frac{τ_2}{τ_2-τ_1 }-1}{1-e^{-\frac{T}{τ_1} } z^{-1} }-\frac{\frac{τ_2}{τ_2-τ_1}}{1-e^{-\frac{T}{τ_2} } z^{-1} } \right\} \end{align} \]


각 변수를 다음과 같이 대치하자.


\[ \frac{τ_2}{τ_2-τ_1}=A \]
\[ e^{-\frac{T}{τ_1} }=B \]
\[ e^{-\frac{T}{τ_2}} =C \]


변수를 대치한 수식은 다음과 같아진다.


\[ =Kp z^{-θ} \left\{\frac{1}{1-z^{-1} }+ \frac{A-1}{1-Bz^{-1} }-\frac{A}{1-Cz^{-1}}\right\} \]


위 식을 통분하여 준다.


\[ K_p\cdot z^{-θ}\cdot \left[\frac{\{-(B+C)-(AC-C-AB)+1\} z^{-1}+\{BC+(AC-C-AB)\} z^{-2}}{1-\{(B+C)+1\} z^{-1}+\{BC+(B+C)\} z^{-2}-BC z^{-3} }\right] \]


차분 방정식 형태로 표기하자.


\[ F(z)=\frac{Output(zero-state response)}{Input}=\frac{Y(z)}{X(z)}\]
\[(Input)Y(z)=(Output)X(z)\]


y[k]를 기준으로 정리하면 다음과 같다.


\[ \begin{align} y[k]&=\{(B+C)+1\}\cdot y[k-1]\\[12pt]&-\{BC+(B+C)\}\cdot y[k-2]\\[12pt]&+BC\cdot y[k-3]\\[12pt]&+K_p\cdot \{-(B+C)-(AC-C-AB)+1\}\cdot f[k-θ-1]\\[12pt]&+K_p\cdot \{BC+(AC-C-AB)\}\cdot f[k-θ-2] \end{align} \]


여기서 각 변수는 다음과 같다. 


\[A=\frac{τ_2}{τ_2-τ_1}\]
\[B=e^{-\frac{T}{τ_1}}\]
\[C=e^{-\frac{T}{τ_2} }\]


Second order with τ1 and τ2
Second order with τ1 and τ2

\(Gain=1, θ=0, τ1=0.01, τ2=1.5, 표본주기 T=0.1\)일 때 응답특성은 Laplace 역변환과 Z 변환을 통한 응답특성이 동일하다.





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