17. Z 변환(Z-transform), Overdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수, ζ > 1


Z 변환(Z-transform), Overdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수, ζ>1


역변환된 시간함수로 구한다. 역변환된 함수는 다음과 같다.


\[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1}(ζ-\sqrt{ζ^2-1})}+\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) }  \right\} \]


\[ \begin{align} =K_p\cdot f(t-θ)& \left\{1-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1}) }e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\right.\\[12pt]&\left.+  \frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1} ) }e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t} \right\} \end{align} \]




ζ>1, Overdamped인 경우


라플라스와 Z 변환표를 참조하자.


\[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \]
\[ 1 → Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \]
\[ e^{-akT}  → Z→  \frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1} } \]


δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 각각 \((ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \), \((ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n\)이다.


\[ \begin{align} F(z)=K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left(\frac{1}{1-z^{-1}}-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} \frac{1}{1-e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n T} z^{-1} )}\right.\\[12pt]&\left.+\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ+\sqrt{ζ^2-1} )}\frac{ 1}{1-e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n T} z^{-1}}\right) \end{align} \]


각 변수를 다음과 같이 대치하자.


\[ e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n T}=e^- \]
\[ e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n T}=e^+ \]
\[ \frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1}) }=ζ^- \]
\[ \frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) }=ζ^+ \]


변수를 대치한 수식은 다음과 같다.


\[ K_p\cdot z^{-θ}\cdot \left(\frac{1}{1-z^{-1}}- \frac{ζ^-}{1-e^- z^{-1} }+\frac{ζ^+}{1-e^+ z^{-1} }\right) \]


위 식을 통분하여 준다.


\[ K_p\cdot z^{-θ}\cdot \left\{\frac{1-ζ^-+ζ^++(-e^-+ζ^--e^++ζ^- e^+-ζ^+ e^--ζ^+ ) z^{-1}+(e^+ e^--ζ^- e^++ζ^+ e^- ) z^{-2}}{1-(e^-+1+e^+ ) z^{-1}+(e^-+e^+ e^-+e^+ ) z^{-2}-(e^+ e^- ) z^{-3}} \right\} \]


이것을 차분 방정식 형태로 표기한다.


\[ F(z)=\frac{Output(zero-state response)}{Input}=\frac{Y(z)}{X(z)} \]
\[(Input)Y(z)=(Output)X(z)\]


y[k]를 기준으로 정리하여 준다.


\[ \begin{align} y[k]&=(e^-+1+e^+ )\cdot y[k-1]\\[12pt]&-(e^-+e^+ e^-+e^+ )\cdot y[k-2]\\[12pt]&+(e^+ e^- )\cdot y[k-3]\\[12pt]&+K_p\cdot (1-ζ^-+ζ^+ )\cdot f[k-θ]\\[12pt]&+K_p\cdot (-e^-+ζ^--e^++ζ^- e^+-ζ^+ e^--ζ^+ )\cdot f[k-θ-1]\\[12pt]&+K_p\cdot (e^+ e^--ζ^- e^++ζ^+ e^- )\cdot f[k-θ-2] \end{align} \]


여기서 각 변수는 다음과 같다. 


\[ e^-=e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n T} \]
\[ e^+=e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n T} \]
\[ ζ^-=\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1}) } \]
\[ ζ^+=\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) } \]


Over-damped, ωn=2, ζ=2
Over-damped, ωn=2, ζ=2

Damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수의 계단 입력에 따른 응답특성이 Laplace 역변환과 Z 변환을 통한 특성과 동일하다. \(Gain=1, θ=0, ω_n=2, ζ>1\).

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