14. Z 변환(Z-transform), Undamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수, ζ = 0


Z 변환(Z-transform), Undamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수, ζ=0


Damping ratio ζ와 고유진동수 \(ω_n\)으로 이루어진 laplace 2차 함수의 Z 변환은 역변환된 시간 함수로부터 구한다.


\( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t ) \  \ where \ ζ=0 \end{align} \)

\( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{ 1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}sin⁡\left(ω_n \sqrt{1-ζ^2} t+cos^{-1}ζ\right) \right\} \ where  \ 1>ζ>0 \end{align} \)

\( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\} \ where \ ζ=1\end{align} \)

\( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}+\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\} \ where \ ζ>1 \end{align} \)




ζ=0, Undamped인 경우


이전 게시글의 라플라스와 Z 변환표를 살펴보자.


\[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \]
\[ 1 → Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \]
\[ cos⁡ω kT → Z→ \frac{ 1-z^{-1} cos⁡ω T}{1-2z^{-1}  cos⁡ω T+z^{-2} } \]


δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, cos⁡ω T 의 ω는 \(ω_n\)이다.


\[ \begin{align} F(z)&=K_p\cdot z^{-θ} \cdot \left(\frac{1}{1-z^{-1}}- \frac{1-z^{-1}  cos⁡ω_n T}{1-2z^{-1}  cos⁡ω_n T+z^{-2}} \right)\\[12pt]&=K_p\cdot z^{-θ}\cdot \left\{\frac{(1-2z^{-1} cos⁡ω_n  T+z^{-2})-(1-z^{-1} )(1-z^{-1} cos⁡ω_n  T)}{(1-z^{-1} )(1-2z^{-1}  cos⁡ω_n  T+z^{-2} )} \right\}\\[12pt]&=K_p\cdot z^{-θ}\cdot \left\{\frac{(1-2z^{-1} cos⁡ω_n  T+z^{-2}-(1-cos⁡ω_n  Tz^{-1}-z^{-1}+cos⁡ω_n  Tz^{-2}}{1-2 cos⁡ω_n  Tz^{-1}+z^{-2}-z^{-1}+2 cos⁡ω_n  Tz^{-1}-z^{-3} } \right\}\\[12pt]&=K_p\cdot z^{-θ}\cdot \left\{\frac{(1-cos⁡ω_n T)z^{-1}+(1-cos⁡ω_n  T)z^{-2}}{1-(2 cos⁡ω_n T+1)z^{-1}+(1+2 cos⁡ω_n  T)z^{-2}-z^{-3}} \right\}\\[12pt]&=\frac{K_p (1-cos⁡ω_n  T)z^{-θ-1}+K_p (1-cos⁡{ω_n } T)z^{-θ-2}}{1-(2 cos⁡ω_n  T+1)z^{-1}+(1+2 cos⁡ω_n T)z^{-2}-z^{-3}} \end{align} \]


위의 식을 차분 방정식 형태로 나타낸다.


\[ F(z)=\frac{Output(zero-state \ response)}{Input}=\frac{Y(z)}{X(z)} \]
\[ (Input)Y(z)=(Output)F(z) \]
\[ \begin{align} &\{1-(2 cos⁡ω_n T+1) z^{-1}+(1+2 cos⁡ω_n T) z^{-2}-z^{-3} \}Y(z)\\[12pt]&=\{K_p (1-cos⁡ω_n  T) z^{-θ-1}+K_p (1-cos⁡ω_n  T) z^{-θ-2} \}X(z) \end{align} \]


여기에서, 좌측 수식은 y[k]에 해당하며 이를 기준으로 정리하여 준다.


\[ \begin{align} y[k]&=(2 cos⁡ω_n T+1) \cdot y[k-1]\\[12pt]&-(1+2 cos⁡ω_n T) \cdot y[k-2]\\[12pt]&+1\cdot y[k-3]\\[12pt]&+K_p (1-cos⁡ω_n T)\cdot f[k-θ-1]\\[12pt]&+K_p (1-cos⁡ω_n T)\cdot f[k-θ-2] \end{align} \]


따라서 damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수의 계단 입력에 따른 응답특성 그래프는 아래와 같다. \(Gain=1, \ θ=0, \ ω_n=2, \ ζ=0\)일 때 아래와 같은 응답특성을 보인다. 



Undamped, ωn=2, ζ=0
Undamped, ωn=2, ζ=0


여기서 Laplace 역변환은 파란색 실선, Z 변환은 붉은 색 세로 막대이다. Laplace 역변환과 Z 변환을 통한 응답 특성이 같은 것을 알 수 있다. 





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