20. Z 변환(Z-transform), 적분과 데드타임(Integrator with dead time)


Z 변환(Z-transform), 적분과 데드타임(Integrator with dead time)


계단 함수(Step function)의 정의를 살펴보자.


\[ f(t)=\begin{cases} 1 & (t≥0) \\ 0 & (t<0) \end{cases} \]


계단함수의 Z 변환은 아래와 같이 표현된다.


\[ \begin{align} F(z)&=Z[f(k)]=\sum_{k=0}^∞ z^{-k}\\[12pt]&=1+z^{-1}+z^{-2}+⋯\\[12pt]&=  \frac{1}{1-z^{-1} } \end{align} \]


계단함수의 Z변환은 아래와 같다.


\[ Z[f(t-nT)]=z^{-n} F(z)\]





적분과 데드타임으로 이루어진 Z 변환 함수의 특성


계단 함수 x(kT)를 1T만큼 지연 시킨 함수 x(k-T)는 아래와 같다.


\[ x(k-T)=\begin{cases}1   & (k≥T) \\ 0   & (k<T) \end{cases} \]

이것을 Z 변환으로 표현하면 다음과 같다.


\[ Z[x(kT-T)]=z^{-1} Z[x(kT)]= \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \]


시간 지연을 가지는 함수로 표현하자.


\[ \begin{align} L\left(\frac{e^{-θs}}{τS}\right)&=e^{-θs}\cdot \frac{1}{τ}\cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=\frac{1}{τ}\cdot Z[f(kT-θT)\cdot 1(k)]\\[12pt]&=Kp\cdot z^{-θ} Z[1(k)]= \frac{ \frac{1}{τ}\cdot z^{-θ}}{1-z^{-1} } \end{align} \]


차분 방정식 형태로 나타내자.


\[ F(z)=\frac{Output(zero-state response)}{Input}=\frac{Y(z)}{X(z)}\]
\[ (Input)Y(z)=(Output)X(z) \]


\[ (1-z^{-1} )Y(z)=\left(\frac{1}{τ}\cdot z^{-θ} \right)X(z) \]


y[k]를 기준으로 정리하면 다음과 같다.


\[ \begin{align} y[k]&=1\cdot y[k-1]\\[12pt]&+\frac{1}{τ}\cdot f[k-θ] \end{align} \]
 
응답특성을 나타내는 그래프를 살펴보자.



Z-trasnform, Responce graph, Integrator with dead time
Z-trasnform, Responce graph, Integrator with dead time

응답특성 그래프에서 표본주기 T=3, 지연시간 θ=2로, Gain=1, τ=1로 하였다. 


Z 변환으로 얻은 응답특성은 지정된 지연특성보다 1이 늦은 특성을 가지는 시스템이 된다. 이것은 표본화에 따른 오차이다. 표본오차(Sampling error)는 표본주기를 작게 하면 할수록 작아진다.



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