7. Z 변환(Z-transform), 데드 타임 2차 함수와 이득, 시상수(Second order with dead time and gain, Time constant)



2차 전달 함수에서 시상수로 이루어진 경우를 살펴보자.


시상수로 이루어진 2차 함수의 Z 변환은 Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달함수의 관계에 2차 함수를 대입하여 구할 수 있다.

\[ \begin{align} F(z)&=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\}=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{\frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{ \frac{K_pe^{-θs}}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{K_pe^{-θs}\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \]

여기서 \(e^{-θs}\)는 \(z^{-k}\)와 같으므로 \( z^{-θ}\)이고, \(K_p\)는 상수이다.

\[=K_p z^{-θ}(1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \]

\(\frac{1}{s}\)은 라플라스 & Z-변환표를 참조하여 정리한다.

\[ \begin{align} &=K_p z^{-θ}(1-z^{-1})\left( \frac{1}{1-z^{-1}}\right)Z\left\{\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ}Z\left\{\frac{1}{τ_1 τ_2 s^2+τ_1 s+τ_2 s+1}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ} Z\left\{\frac{\frac{1}{τ_1 τ_2 }}{s^2+\frac{τ_1 s}{τ_1 τ_2}+\frac{τ_2 s}{τ_1 τ_2 }+\frac{1}{τ_1 τ_2}}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ} Z\left\{\frac{1}{τ_1 τ_2}\frac{1}{s^2+\frac{τ_1 s}{τ_1 τ_2 }+\frac{τ_2 s}{τ_1 τ_2}+\frac{1}{τ_1 τ_2}}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ} \frac{1}{τ_1 τ_2} Z\left\{\frac{1}{s^2+\frac{τ_1 s}{τ_1 τ_2}+\frac{τ_2 s}{τ_1 τ_2 }+\frac{1}{τ_1 τ_2 }}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ}\frac{1}{τ_1 τ_2} Z\left\{\frac{1}{s^2+\frac{s}{τ_2} +\frac{s}{τ_1} +\frac{1}{τ_1 τ_2}}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ}  \frac{1}{τ_1 τ_2} Z\left\{\frac{1}{s^2+s\left(\frac{1}{τ_2}+\frac{1}{τ_1}\right)+\frac{1}{τ_1 τ_2}}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ}\frac{1}{τ_1 τ_2}Z\left\{\frac{1}{\left(s+\frac{1}{τ_1}\right) \left(s+\frac{1}{τ_2}\right)}\right\} \end{align} \]

우변의 라플라스항은 부분분수로 전개한다.
\[ \frac{1}{\left(s+\frac{1}{τ_1}\right) \left(s+\frac{1}{τ_2}\right)}=\frac{A}{s+\frac{1}{τ_1}}+\frac{B}{s+\frac{1}{τ_2}} \]

A와 B는 미정계수로 다음과 같이 구한다.
\[ A\left(s+\frac{1}{τ_2}\right)+B\left(s+\frac{1}{τ_1}\right)=As+A\frac{1}{τ_2}+Bs+B\frac{1}{τ_1} \] 

s항과 일반항으로 정리한다.
\[ As+Bs=0 \]
\[ A\frac{1}{τ_2}+B\frac{1}{τ_1} =1 \]

s항의 식에서 A=-B이므로
\[ B\frac{1}{τ_1} -B\frac{1}{τ_2} =B\left(\frac{1}{τ_1} -\frac{1}{τ_2}\right)=1\]

\[ B=\frac{1}{\frac{1}{τ_1} -\frac{1}{τ_2}}=\frac{1}{\frac{τ_2-τ_1}{τ_1 τ_2}}=\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1} \]

\[ ∴A=-\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1} \]

A와 B를 대입하여 정리한다.
\[ \begin{align} K_p &z^{-θ}  \frac{1}{τ_1 τ_2} Z\left\{\frac{A}{s+\frac{1}{τ_1}}+\frac{B}{s+\frac{1}{τ_2}}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ}  \frac{1}{τ_1 τ_2} Z\left\{-\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1}   \frac{1}{s+\frac{1}{τ_1}}+\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1}  \frac{1}{s+\frac{1}{τ_2}}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ}\frac{1}{τ_1 τ_2}Z\left\{\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1}\frac{1}{s+\frac{1}{τ_2}} -\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1}\frac{1}{s+\frac{1}{τ_1}}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ}\frac{1}{τ_1 τ_2}Z\left\{\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1}\left( \frac{1}{s+\frac{1}{τ_2} -  \frac{1}{s+\frac{1}{τ_1}}}\right)\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ} \frac{1}{τ_1 τ_2}\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1}Z\left\{\frac{1}{s+\frac{1}{τ_2}} - \frac{1}{s+\frac{1}{τ_1}}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ} \frac{1}{τ_1 τ_2}\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1} \left(\frac{1}{1-e^{-\frac{T}{τ_2}} z^{-1}}-\frac{1}{1-e^{-\frac{T}{τ_1}} z^{-1}} \right) \end{align} \]

위의 수식에서 괄호 안의 수식을 정리한다.
\[ \begin{align} &\left(\frac{1}{1-e^{-\frac{T}{τ_2}} z^{-1}}-\frac{1}{1-e^{-\frac{T}{τ_1}}z^{-1}}\right)\\[12pt] &=\frac{(1-e^{-\frac{T}{τ_1}}z^{-1})-(1-e^{-\frac{T}{τ_2}}z^{-1})}{(1-e^{-\frac{T}{τ_2}}z^{-1})(1-e^{-\frac{T}{τ_1}} z^{-1})}\\[12pt] &=\frac{-e^{-\frac{T}{τ_1}}z^{-1}+e^{-\frac{T}{τ_2}} z^{-1}}{(1-e^{-\frac{T}{τ_2}} z^{-1})(1-e^{-\frac{T}{τ_1}}z^{-1})}\\[12pt] &=\frac{(e^{-\frac{T}{τ_2}}-e^{-\frac{T}{τ_1}})z^{-1}}{(1-e^{-\frac{T}{τ_2}} z^{-1})(1-e^{-\frac{T}{τ_1}}z^{-1})}\\[12pt] &=\frac{(e^{-\frac{T}{τ_2}}-e^{-\frac{T}{τ_1}}) z^{-1}}{1-e^{-\frac{T}{τ_1}}z^{-1}-e^{-\frac{T}{τ_2}}z^{-1}+(e^{-\frac{T}{τ_2}} e^{-\frac{T}{τ_1 }})z^{-2}}\\[12pt] &=\frac{(e^{-\frac{T}{τ_2}}-e^{-\frac{T}{τ_1}}) z^{-1}}{1-(e^{-\frac{T}{τ_1}}+e^{-\frac{T}{τ_2}}) z^{-1}+(e^{-\frac{T}{τ_2}}e^{-\frac{T}{τ_1}}) z^{-2} }\end{align} \]

정리된 식을 적용한다.
\[ \begin{align} &K_p z^{-θ} \frac{1}{τ_1 τ_2} \frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1}\left(\frac{1}{1-e^{-\frac{T}{τ_2}} z^{-1}}-\frac{1}{1-e^{-\frac{T}{τ_1}}z^{-1}}\right)\\[12pt] &=K_p z^{-θ}  \frac{1}{τ_1 τ_2}\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1}\left(\frac{(e^{-\frac{T}{τ_2}}-e^{-\frac{T}{τ_1}}) z^{-1}}{1-(e^{-\frac{T}{τ_1}}+e^{-\frac{T}{τ_2}}) z^{-1}+(e^{-\frac{T}{τ_2}} e^{-\frac{T}{τ_1}} ) z^{-2}} \right)\\[12pt] &=\frac{K_p z^{-θ}\frac{1}{τ_1 τ_2}\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1}(e^{-\frac{T}{τ_2}}-e^{-\frac{T}{τ_1}})z^{-1}}{1-(e^{-\frac{T}{τ_1}}+e^{-\frac{T}{τ_2}})z^{-1}+(e^{-\frac{T}{τ_2 }}e^{-\frac{T}{τ_1}})z^{-2}} \end{align} \]

이것을 차분 방정식 형태로 나타낸다.
\[ \begin{align}F(z)&=\frac{Output(zero-state response)}{Input}\\[12pt]&=\frac{Y(z)}{X(z)} \end{align} \]

\[ (Input)Y(z)=(Output)X(z) \]

\[ \begin{align} \left(1-(e^{-\frac{T}{τ_1}}+e^{-\frac{T}{τ_2}}) z^{-1}+(e^{-\frac{T}{τ_2}} e^{-\frac{T}{τ_1}}) z^{-2} \right)Y(z)\\=\left(K_p z^{-θ} \frac{1}{τ_1 τ_2}\frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1} (e^{-\frac{T}{τ_2}}-e^{-\frac{T}{τ_1}}) z^{-1} \right)X(z) \end{align} \]

좌측 수식은 y[k]에 해당하며 이를 기준으로 정리한다.
\[ \begin{align} y[k]&=(e^{-\frac{T}{τ_1}}+e^{-\frac{T}{τ_2}} )\cdot y[k-1]\\[12pt] &-(e^{-\frac{T}{τ_2}} e^{-\frac{T}{τ_1}})\cdot y[k-2]\\[12pt]&+K_p  \frac{1}{τ_1 τ_2} \frac{τ_1 τ_2}{τ_2-τ_1}(e^{-\frac{T}{τ_2 }}-e^{-\frac{T}{τ_1}})\cdot f[k-θ-1]\\[16pt] &=(e^{-\frac{T}{τ_1}}+e^{-\frac{T}{τ_2}})\cdot y[k-1]\\[12pt] &-(e^{-\frac{T}{τ_2}} e^{-\frac{T}{τ_1}} )\cdot y[k-2]\\[12pt]&+K_p \frac{1}{τ_2-τ_1}(e^{-\frac{T}{τ_2}}-e^{-\frac{T}{τ_1}})\cdot f[k-θ-1] \end{align} \]

Gain=4, θ=0, τ1=1, τ2=2, 표본주기 T=0.1일 때 응답특성은 다음과 같다.
 
Z-transform Second order with Time constant
Z-transform Second order with Time constant


이것은 Laplace 역변환과 Z 변환을 통한 응답특성이 같다.

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