16. Z 변환(Z-transform), Critically damped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수, ζ = 1


Z 변환(Z-transform), Critically damped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수, ζ=1


역변환된 시간함수로 구한다.

\[ \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 }  \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\}\\[12pt]&=K_p\cdot f(t-θ)\cdot (1-e^{-ω_n t}-e^{-ω_n t} ω_n t) \end{align} \]




ζ=1, Critically damped인 경우


라플라스와 Z 변환표를 살펴보자.


\[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \]
\[ kTe^{-akT} → Z→ \frac{ Te^{-aT} z^{-1}}{(1-e^{-aT} z^{-1})^2} \]
\[ 1-e^{-akT} → Z→  \frac{(1-e^{-aT})z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-e^{-aT} z^{-1})} \]


δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(kTe^{-akT}\)의 k는 \(ω_n\)이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(ω_n\)이다.


\[ \begin{align} F(z)=K_p \cdot z^{-θ} \cdot &\left\{\frac{(1-e^{-ω_n T} ) z^{-1}}{(1-z^{-1} )(1-e^{-ω_n T} z^{-1}) } \right. \\[12pt] & \left.-ω_n  \frac{Te^{-ω_n T} z^{-1}}{(1-e^{-ω_n T} z^{-1} )^2} \right\} \end{align} \]


\(e^{-ω_n T}\)를 e로 대치하고 전개한다.


\[ \begin{align} K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left\{\frac{z^{-1}-ez^{-1}}{1-ez^{-1}-z^{-1}+ez^{-2}}\right. \\[12pt]&-\left. \frac{ω_n Tez^{-1}}{1-2ez^{-1}+e^2 z^{-2}}\right\} \end{align} \]


위 식을 통분하여 준다.


\[ K_p\cdot z^{-θ}\cdot \left\{\frac{(1-e-ω_n Te) z^{-1}+(-2e+2e^2+ω_n Te^2+ω_n Te) z^{-2}+(-e^3-ω_n Te^2+e^2 ) z^{-3}}{1+(-3e-1) z^{-1}+(3e^2+3e) z^{-2}+(-e^3-3e^2 ) z^{-3}+(e^3 ) z^{-4})}\right\} \]


차분 방정식 형태로 표기한다.


\[ F(z)=\frac{(Output(zero-state response)}{Input}=\frac{Y(z)}{X(z)} \]
\[(Input)Y(z)=(Output)X(z)\]


y[k]를 기준으로 정리하여 준다.


\[ \begin{align} y[k]=&-(-3e-1)\cdot y[k-1]\\[12pt]&-(3e^2+3e)\cdot y[k-2]\\[12pt]&-(-e^3-3e^2 )\cdot y[k-3]\\[12pt]&-(e^3 )\cdot y[k-4]\\[12pt]&+K_p\cdot (1-e-ω_n Te)\cdot f[k-θ-1]\\[12pt]&+K_p\cdot (-2e+2e^2+ω_n Te^2+ω_n Te)\cdot f[k-θ-2]\\[12pt]&+K_p\cdot (-e^3-ω_n Te^2+e^2 )\cdot f[k-θ-3] \end{align} \]


여기서 변수e는 다음과 같다. 


\[ e=e^{-ω_n T} \]



Critically damped, ωn=2, ζ=1
Critically damped, ωn=2, ζ=1

damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수의 계단 입력에 따른 응답특성이다. \(Gain=1, θ=0, ω_n=2, ζ=1\). 이것은 Laplace 역변환과 Z 변환을 통한 응답특성이 동일한 것을 나타낸다.

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