4. Z 변환(Z-transform), 데드 타임 1차 함수와 게인(First order with dead time and gain)

이득을 가진 데드 타임 1차 함수(First order with dead time and gain)의 Z 변환


앞에서 서술한  이득을 가진 데드 타임 1차 함수(First order with dead time and gain)의 라플라스 변환을 Z 변환을 통한 차분 방정식(Difference Equation)을 활용하여 디지털 시스템에 적용해 보자.
Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달 함수의 관계에서 이득을 가진 데드 타임 1차 함수를 대입하면 다음과 같다.

\[ \begin{align} F(z) &=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac {\frac{K_p e^{-θs}}{1+τs}}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{K_p e^{-θs}}{s(1+τs)}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{K_p e^{-θs}\frac{1}{τs+1}\frac{1}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{K_p e^{-θs} \frac{1}{τ}\frac{1}{s+\frac{1}{τ}}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \]

여기서 \( e^{-θs} \)는 \(z^{-k} \)와 같으므로 \( z^{-θ}\)이고, \( K_p\)와 \(\frac{1}{τ}\)은 상수이므로
 
\[ =K_p  \frac{1}{τ} z^{-θ} (1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{s+\frac{1}{τ}}  \frac{1}{s}\right\} \]

로 나타낼 수 있고, \( \frac{1}{s}\)의 역변환은 \(u(t)\)로서 계단 함수이다.

\[ \begin{align} L[u(t)] &=∫_0^∞ u(t) e^{-st} dt=∫_0^∞ 1\cdot e^{-st} dt \\[12pt] &=\left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_0^∞=\frac{1}{s} \end{align} \]


\[ u(t)=\begin{cases}0 & (t<0) \\ 1 & (t≥0) \end{cases}\]


계단 함수는 위의 정의에 따라

\[ \begin{align} F(z)&=Z[f(k)]=\sum_{k=0}^∞ z^{-k} \\[12pt] &=1+z^{-1}+z^{-2}+⋯ \end{align} \]

으로 나타낼 수 있고, 수열 \( ∑_{k=0}^∞ z^{-k} \)은 

\[ \begin{align} \sum_{k=1}^∞ ar^{k-1} &=a+ar+ar^2+⋯+ar^{n-1}+⋯ \\[12pt] &=\frac{a}{1-r} \end{align} \]

와 같은 등비수열(Geometric sequence) 형태이다. 그러므로 계단 함수의 Z 변환은 다음과 같다.

\[ \begin{align} F(z)&=Z[f(k)]=\sum_{k=0}^∞ z^{-k} \\[12pt] &=1+z^{-1}+z^{-2}+⋯ \\[12pt] &= \frac{1}{1-z^{-1}} \end{align} \]

\( \frac{1}{s+\frac{1}{τ}} \)은 라플라스 변환표에 제시된 \( \frac{1}{s+a}→ L^{-1}→e^{-at} \)에 의해 감쇠(Damping)하는 지수 함수(Polynomial function)이다.

\[ \frac{1}{s+\frac{1}{τ}}→ L^{-1}→e^{-\frac{1}{τ }t} \]

이것의 정의는 다음과 같다.

\[ f(kT)=\begin{cases}e^{-akT} & (k ≥0) \\0 &          (k<0) \end{cases} \]

지수 함수의 Z 변환은 Z 변환 정의에 따라 다음과 같다.

\[ \begin{align} &F(z) =Z[e^{-akT} ]=\sum_{k=0}^{∞} e^{-akT} z^{-k} \\[12pt] &=1+e^{-aT} z^{-1}+e^{-2aT} z^{-2}+e^{-3aT} z^{-3} + ⋯ \\[12pt] &=\frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1}} \end{align} \]

즉, \( e^{-\frac{1}{τ}t} \)는 다음과 같다.

\[ F(z)=\frac{1}{1-e^{-\frac{T}{τ}} z^{-1}} \]

위 변환은 라플라스와 Z 변환표에 나와 있는 것과 같다.

\[ δ(n-k)=\begin{cases}1 & (n=k) \\ 0 & (n≠k) \end{cases}→ X(z)→z^{-k} \]

\[ \begin{align} \frac{1}{s}→ &L^{-1}→1(t)  → \\ &x(k)→ 1(k)→ X(z)→  \frac{1}{1-z^{-1}} \end{align} \]

\[ \begin{align} \frac{1}{s+a}&→ L^{-1}→e^{-at} → \\ &x(k)→e^{-akT}→ X(z)→ \frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1}} \end{align} \]


변환 과정을 나타내면 다음과 같다.

\[ \begin{align} F(z) &=Z \left\{ (1-z^{-1}) \frac{F(s)}{s} \right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1}) Z \left\{ \frac{F(s)}{s} \right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1}) Z \left\{ Kp e^{-θs} \frac{1}{τ} \frac{1}{s+\frac{1}{τ}} \frac{1}{s} \right\} \\[12pt] &=Kp \frac{1}{τ} z^{-θ} (1-z^{-1}) Z \left\{ \frac{1}{s+\frac{1}{τ}}  \frac{1}{s} \right\} \\[12pt] &=Kp \frac{1}{τ} z^{-θ} (1-z^{-1}) \left( \frac{1}{1-z^{-1}} \right) Z \left\{ \frac{1}{s+\frac{1}{τ}} \right\} \\[12pt] &=Kp \frac{1}{τ} z^{-θ} (1-z^{-1}) \left(\frac{1}{1-z^{-1}}\right)\left(\frac{1}{1-e^{-\frac{T}{τ}} z^{-1}} \right) \\[12pt] &=Kp  \frac{1}{τ} z^{-θ} \left( \frac{1}{1-e^{-\frac{T}{τ}}  z^{-1}}\right) \\[12pt] &=\left( \frac{\frac{Kp}{τ} z^{-θ}}{1-e^{-\frac{T}{τ}} z^{-1}}\right) \end{align} \]

이것을 차분 방정식 형태로 나타내면 다음과 같다.

\[ \begin{align} F(z)&=\frac{Output(zero-state response)}{Input} \\[12pt] &= \frac{Y(z)}{X(z)} \end{align} \]

\[(Input)Y(z)=(Output)X(z)\]

\[\left(1-e^{-\frac{T}{τ}} z^{-1}\right)Y(z)=\left(\frac{Kp}{τ} z^{-θ}\right)X(z)\]

좌측 수식은 y[k]에 해당하며 y[k]를 기준으로 정리한다.

\[ y[k]=e^{-\frac{T}{τ}} \cdot y[k-1]+\frac{Kp}{τ} \cdot f[k-θ] \]

응답 특성을 살펴보자. Gain=1, θ=0, τ=1, 표본 주기 T=1
 
Z transform period
Z transform period

Z 변환에 의해 생성된 데이터는 표본 주기에 의해 0초, 1초, 2초, 3초, …, 10초에 데이터가 존재한다. 이론적으로 라플라스 역변환은 모든 시간에 데이터를 가지고 있으나 계산을 0.1초 간격으로 풀이하면 0.1초마다 데이터를 가지고 있는 것을 볼 수 있다. 위 그림을 값을 유지하는 실선 형태로 표현하면 아래와 같다. Z 변환은 표본 유지(Sample hold)를 적용한다.
 
Sample and hold
Sample and hold

위와 같이 역변환된 식은 연속적인 그래프로 Z 변환된 식은 표본 주기에 따른 형태로 나타난다. Z 변환된 데이터는 계산된 수식에 의한 데이터로부터 표본 유지를 적용하기 위한 과정을 수행하게 된다. 이때 표본 주기를 역변환의 계산 주기와 동일하게 하면 아래와 같다.
 
Continuous
Continuous

위의 그림과 같이 Laplace 역변환과 Z 변환을 통한 응답 특성 그래프는 동일하다. 이 둘을 구분하기 위해 Z변환은 세로 막대형으로 그림을 나타내면 아래와 같다.
 
Laplace and Z transform
Laplace and Z transform

Laplace 역변환은 선(Line)으로 Z 변환은 세로 막대형으로 응답특성을 표현 할 수 있다. 연속성은 선으로 세로 막대형은 표본 주기성을 나타낸다. 이와 같이 Laplace 역변환과 Z 변환을 통한 응답 특성은 동일하다. 물론 표본화에 따른 오차가 발생하므로 동일하지는 않다. 다만 이것은 표본 주기를 작게 하면 할수록 작아지며 오차는 줄어 든다.

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