15. Z 변환(Z-transform), Underdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수, 1>ζ> 0

Z 변환(Z-transform), Underdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수, 1>ζ>0

역변환된 시간함수로 구한다. 역변된 함수는 아래와 같다.

\[ K_p e^{-θs} \left\{\frac{1}{s}-\frac{s+ζω_n}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2 }-\frac{ζω_n}{ω_d}   \frac{ω_d}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2}\right\} \]

\[→ L^{-1}→\]

\[ K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-e^{-ζω_n t} cos⁡ω_d  t-\frac{ζω_n}{ω_d} e^{-ζω_n t} sin⁡ω_d t \right\} \]

1>ζ>0, Underdamped인 경우

라플라스와 Z 변환표를 참조하자.

\[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \]

\[ 1 → Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \]

\[ \begin{align} e^{-akT}  &cos⁡ω kT \ → Z→ \\[12pt] &\frac{1-e^{-aT} z^{-1}  cos⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT}z^{-2}} \end{align} \]

\[ \begin{align} e^{-akT}  &sin⁡ω kT \ → Z→  \\[12pt] &\frac{1-e^{-aT} z^{-1} sin⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT} z^{-2}} \end{align} \]

δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}  cos⁡ω kT\)와 \(e^{-akT}  sin⁡ω kT \)의 a는 \(ζω_n\)이고, ω는 \(ω_d\)이다.

\[ \begin{align} F(z)=K_p \cdot z^{-θ} &\cdot \left(\frac{1}{1-z^{-1}}- \frac{1-e^{-ζω_n T} z^{-1}  cos⁡{ω_d } T}{1-2e^{-ζω_n T} z^{-1}  cos⁡ω_d T+e^{-2ζω_n T} z^{-2} }-\frac{ζω_n}{ω_d} \right. \\[12pt] &\cdot \left. \frac{e^{-ζω_n T} z^{-1}  sin⁡{ω_d } T}{1-2e^{-ζω_n T}z^{-1} cos⁡{ω_d } T+e^{-2ζω_n T} z^{-2} } \right) \end{align} \]

여기서 각 변수를 다음과 같이 대치한다.

\[ e^{-ζω_n T}=e^- \]
\[ e^{-2ζω_n T}=e^{-2} \]
\[ sin⁡ω_d T=sin \]
\[ cos⁡ω_d T=cos \]
\[ \frac{ζω_n}{ω_d} =ζ_t \]

변수를 대치한 수식은 다음과 같다.

\[ \begin{align} =K_p \cdot z^{-θ} \cdot \left(\frac{1}{1-z^{-1} }- \frac{1-e^- cos z^{-1}}{1-2e^- cos z^{-1}+e^{-2} z^{-2} }-\frac{ζ_t e^- sin z^{-1}}{1-2e^- cos z^{-1}+e^{-2} z^{-2}}\right) \end{align} \]

여기서 ( )안의 첫번째 항과 중간 항을 통분하여 준다.

\[ \begin{align} =K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left(\frac{(-e^- cos+1) z^{-1}+(e^{-2}-e^{-2} cos) z^{-2}}{1+(-2e^- cos-1) z^{-1}+(e^{-2}+{2e}^- cos) z^{-2}-e^{-2} z^{-3}}\right. \\[12pt]&-\left. \frac{ζ_t e^- sin z^{-1}}{1-2e^- cos z^{-1}+e^{-2} z^{-2} } \right) \end{align} \]

여기서 ( )안의 항을 통분하여 각 차수별로 나타낸다. 분자항은 아래와 같다.

\[ \begin{align} &+K_p\cdot (e^- cos+1-ζ_t e^- sin⁡)z^{-θ-1}\\[12pt]&+K_p\cdot (e^{-2}-e^- cos+e^- cos 2e^- cos-2e^- cos +⁡ζ_t e^- sin2e^- cos  +⁡ζ_t e^- sin)z^{-θ-2}\\[12pt]&+K_p\cdot (-2e^- cose^{-2}+e^- cos 2e^- cos-e^- cos e^{-2}+e^{-2}-ζ_t e^- sin e^{-2}-ζ_t e^- sin2e^{-2} cos)z^{-θ-3}\\[12pt]&+K_p\cdot (e^{-2} e^{-2}-e^- cos e^{-2}  +⁡ζ_t e^- sin2e^{-2} )z^{-θ-4} \end{align} \]

분모항은 아래와 같다.

\[ \begin{align} &1+(-2e^- cos-1-2e^- cos) z^{-1}\\[12pt]&=1+(4e^- cos+1)z^{-1}\\[12pt]&+{(2e^{-2}+4e^- cos+(2e^- cos)^2 } z^{-2}\\[12pt]&+(-2e^{-2}-2e^- cos e^{-2}-e^{-2} 2e^- cos-2e^- cos2e^- cos)z^{-3}\\[12pt]&+(2e^- cos e^{-2}+e^{-2} e^{-2}+e^{-2} 2e^- cos)z^{-4}\\[12pt]&+(-e^{-2} e^{-2})z^{-5} \end{align} \]

이를 차분 방정식 형태로 표기하면,

\[ F(z)=\frac{Output(zero-state response)}{Input}=\frac{Y(z)}{X(z)} \]
\[ (Input)Y(z)=(Output)X(z) \]

y[k]를 기준으로 정리하면 다음과 같다.

\[ \begin{align} y[k]&=(4e^- cos+1)\cdot y[k-1]\\[12pt]&-\{(2e^{-2}+4e^- cos+(2e^- cos)^2 \}\cdot y[k-2]\\[12pt]&-(-2e^{-2}-2e^- cos e^{-2}-e^{-2} 2e^- cos-2e^- cos2e^- cos)\cdot y[k-3]\\[12pt]&-(2e^- cos e^{-2}+e^{-2} e^{-2}+e^{-2} 2e^- cos)\cdot y[k-4]\\[12pt]&-(-e^{-2} e^{-2})\cdot y[k-5]\\[12pt]&+K_p\cdot (e^- cos+1-ζ_t e^- sin⁡)\cdot f[k-θ-1]\\[12pt]&+K_p\cdot (e^{-2}-e^- cos+e^- cos 2e^- cos-2e^- cos +⁡ζ_t e^- sin2e^- cos+⁡ζ_t e^- sin) \cdot f[k-θ-2]\\[12pt]&+K_p\cdot (-2e^- cose^{-2}+e^- cos 2e^- cos-e^- cos e^{-2}+ e^{-2}-ζ_t e^- sin e^{-2}-ζ_t e^- sin 2e^{-2} cos) \cdot f[k-θ-3]\\[12pt]&+K_p\cdot (e^{-2} e^{-2}-e^- cos e^{-2} +⁡ζ_t e^- sin2e^{-2} ) \cdot f[k-θ-4] \end{align} \]

여기서 각 변수는 다음과 같다. 

\[ e^-=e^{-ζω_n T} \]
\[ e^{-2}=e^{-2ζω_n T} \]
\[ sin=sin⁡ω_d  T \]
\[ cos=cos⁡ω_d  T \]
\[ ζ_t=\frac{ζω_n}{ω_d} \]

damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수의 계단 입력에 따른 응답 특성 그래프는 아래와 같다. \(Gain=1, θ=0, ω_n=2, ζ=0.3\)일 때 아래와 같은 응답 특성을 보인다. 

Under-damped, ωn=2, ζ=0.3

Laplace 역변환과 Z 변환을 통한 응답 특성은 동일하다.