13. 라플라스(Laplace) & Z 변환(Z-transform) 변환표(Conversion table)

 

라플라스(Laplace) & Z 변환(Z-transform) 변환표(Conversion table)

시간 함수로 표현 되는 연속 시스템 함수 f(t)의 라플라스로 변환된 함수 F(s)와 등가 디지털 신호인 이산 신호 f(kT) 그리고 Z 변환된 함수 F(z)의 관계에 따른 변환표이다.

라플라스(Laplace) 변환표(Conversion table)

시간 t가 0 이상일 때 1의 값을 가지는 함수 u(t)가 있을 때 이를 라플라스 함수로 변환하면 $\frac{1}{s}$가 된다.

$$u(t)=\{\begin{array}{ll}0& (t<0)\\ 1& (t\ge 0)\end{array}$$

이처럼 계단 함수(Step function)는 라플라스 정의에 따라 $\frac{1}{s}$가 된다.

$$\begin{array}{rl}L[u(t)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}u(t)e^{-st}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}1\cdot e^{-st}dt\\ & ={\left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{s}\end{array}$$

계단 함수 u(t)는 시간에 따라 표현 되는 시간 함수이고 계단 함수를 라플라스 변환하면 $\frac{1}{s}$가 된다. 
시간 함수를 f(t)로 라플라스 함수는 F(s)로 나타낸 테이블이다.

No.	$$f(t)$$	$$F(s)$$
1	$$1(t)$$	$$\frac{1}{s}$$
2	$$t^n,n>0$$	$$\frac{n!}{s^{n+1}}$$
3	$$e^{-at}$$	$$\frac{1}{s+a}$$
4	$$t{e}^{-at}$$	$$\frac{1}{(s+a{)}^2}$$
5	$$1-e^{-at}$$	$$\frac{a}{s(s+a)}$$
6	$$sin\omega t$$	$$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$
7	$$cos\omega t$$	$$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$$
8	$$e^{-at}sin\omega t$$	$$\frac{\omega }{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$$
9	$$e^{-at}cos\omega t$$	$$\frac{s+a}{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$$
10	$$\delta (t)$$	$$1$$
11	$$f(t-\theta )$$	$$e^{-\theta s}$$

Z 변환(Z-transform) 변환표(Conversion table)

연속 시간 함수를 일정 주기로 표본화하면 이산 시간 신호를 얻을 수 있다. 
여기에서 표본화는

$$f(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(t)\delta (t-kT)$$
으로 표현한다.

계단 함수를 Z 변환으로 바꾸면 등비수열 형태로 나타난다.

$$\begin{array}{rl}F[z]=Z[f(k)]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{-k}& =1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \\ & =\frac{1}{1-z^{-1}}\end{array}$$

함수 f(k)를 Z-변환하면 $\frac{1}{1-z^{-1}}$이다. 이처럼 이산신호는 Z-변환된 함수로 나타낼수 있다.
이산 신호 f(kT)를 Z 변환 함수는 F(z)로 나타낸 테이블이다.

No.	$$f(kT)$$	$$F(z)$$
1	$$1(k)$$	$$\frac{1}{1-z^{-1}}$$
2	$$kT$$	$$\frac{T{z}^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$$
3	$$e^{-akT}$$	$$\frac{1}{1-e^{-aT}{z}^{-1}}$$
4	$$kT{e}^{-akT}$$	$$\frac{T{e}^{-aT}{z}^{-1}}{(1-e^{-aT}z-1{)}^2}$$
5	$$1-e^{-akT}$$	$$\frac{(1-e^{-aT})z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-e^{-aT}{z}^{-1})}$$
6	$$sin\omega kT$$	$$\frac{z^{-1}sin\omega T}{1-2z^{-1}cos\omega T+z^{-2}}$$
7	$$cos\omega kT$$	$$\frac{1-z^{-1}cos\omega T}{1-2z^{-1}cos\omega T+z^{-2}}$$
8	$$e^{-akT}sin\omega kT$$	$$\frac{e^{-aT}{z}^{-1}sin\omega T}{1-2e^{-aT}{z}^{-1}cos\omega T+e^{-2aT}{z}^{-2}}$$
9	$$e^{-akT}cos\omega kT$$	$$\frac{1-e^{-aT}{z}^{-1}cos\omega T}{1-2e^{-aT}{z}^{-1}cos\omega T+e^{-2aT}{z}^{-2}}$$
10	$$\delta (k)$$	$$1$$
11	$$f(n-k)$$	$$z^{-k}$$

 

라플라스와 Z 변환 변환표

시간 함수 f(t), 라플라스 함수 F(s), 이산 신호 f(kT) 그리고 Z 변환된 함수 F(z)의 변환표이다.

No.	$$F(s)$$	$$f(t)$$	$$f(kT)$$	$$F(z)$$
1	$$\frac{1}{s}$$	$$1(t)$$	$$1(k)$$	$$\frac{1}{1-z^{-1}}$$
2	$$\frac{1}{s^2}$$	$$t$$	$$kT$$	$$\frac{T{z}^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$$
3	$$\frac{1}{s+a}$$	$$e^{-at}$$	$$e^{-akT}$$	$$\frac{1}{1-e^{-aT}{z}^{-1}}$$
4	$$\frac{1}{(s+a{)}^2}$$	$$t{e}^{-at}$$	$$kT{e}^{-akT}$$	$$\frac{T{e}^{-aT}{z}^{-1}}{(1-e^{-aT}z-1{)}^2}$$
5	$$\frac{a}{s(s+a)}$$	$$1-e^{-at}$$	$$1-e^{-akT}$$	$$\frac{(1-e^{-aT})z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-e^{-aT}{z}^{-1})}$$
6	$$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$	$$sin\omega t$$	$$sin\omega kT$$	$$\frac{z^{-1}sin\omega T}{1-2z^{-1}cos\omega T+z^{-2}}$$
7	$$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$$	$$cos\omega t$$	$$cos\omega kT$$	$$\frac{1-z^{-1}cos\omega T}{1-2z^{-1}cos\omega T+z^{-2}}$$
8	$$\frac{\omega }{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$$	$$e^{-at}sin\omega t$$	$$e^{-akT}sin\omega kT$$	$$\frac{e^{-aT}{z}^{-1}sin\omega T}{1-2e^{-aT}{z}^{-1}cos\omega T+e^{-2aT}{z}^{-2}}$$
9	$$\frac{s+a}{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$$	$$e^{-at}cos\omega t$$	$$e^{-akT}cos\omega kT$$	$$\frac{1-e^{-aT}{z}^{-1}cos\omega T}{1-2e^{-aT}{z}^{-1}cos\omega T+e^{-2aT}{z}^{-2}}$$
10	$$1$$	$$\delta (t)$$	$$\delta (k)$$	$$1$$
11	$$e^{-\theta s}$$	$$f(t-\theta )$$	$$f(n-k)$$	$$z^{-k}$$

※ No. 2의 n=1.