2. 이득을 가지는 데드 타임(Dead time with gain)과 라플라스(Laplace) & Z 변환(Z-transform)

데드 타임과 이득(Dead time with gain)

데드 타임(Dead time)

Dead time은 입력에 따라 출력이 변하는 시스템에서 입력 시점에서 출력 시점까지, 입력 변화에 따른 출력 변화가 나타나기까지 시간이 걸리는데 이 지연되는 시간을 데드 타임이라고 한다. 이러한 시스템을 모델로 만들 때 지연 특성(time shift, delay time)을 반영하고 이것을 수식으로 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\[ K_{p} e^{-\theta s} \]

Kp는 시스템 이득 또는 프로세스 이득(Gain)이고 θ는 데드 타임이다.

데드 타임의 라플라스 모델

위의 식을 Laplace 모델로서 시간에 대한 함수로 표현하면

\[ f(t) = K_p L(e^{(-\theta s)}) = K_p \cdot f(t-\theta) \]
여기에서 \( L(e^{(-\theta s)} ) \)의 L(  )은 괄호 안의 수식이 Laplace 영역(domain)이다. 그리고 우변 항의 \( K_p \)는 시스템 이득을 나타낸다.
\( e^{(-\theta s)} \)는 지연 특성을 나타내는 것으로 \( f(t-\theta) \)로 표현할 수 있다. 이것은 연결된 함수를 θ만큼 이동한 것으로 그림으로 표현하면 아래와 같다.
 

지연 특성

이 함수는

\[ g(t) = \begin{cases} 0 & \ (t < \theta) \\ f(t-\theta) & \ (t\ge \theta) \end{cases} \]

으로 정의된다. 이것을 변환하면

\[ \begin{align} L[g(t)] &= \int_0^\infty e^{-st}g(t)dt \\[10pt] &= \int_0^\theta e^{-st}g(t)dt + \int_\theta^\infty e^{-st}g(t)dt \end{align} \]

우변 항의 0에서 θ구간은 0이고, θ에서 ∞구간은 \( f(t-\theta)\)이다.

\[ \begin{align} &=\int_0^\theta e^{-st} (0)dt + \int_\theta^\infty e^{-st} f(t-\theta)dt \\[10pt] &= \int_\theta^\infty e^{-st} f(t-\theta)dt \end{align} \]

\( (t-\theta) \)를 x로 하고 x에 대해 적분하면 아래와 같다. 

적분 구간은 사건 발생 시점부터 적분이 이루어지며, 적분 시작 점이 θ와 동일하므로 0으로 나타낼 수 있다.

\[ \begin{align} &=\int_0^\infty e^{-s(x+\theta)}f(x)dx \\[10pt] &= \int_0^\infty e^{-sx} e^{-s\theta}f(x)dx \\[10pt] &= e^{-s\theta}\int_0^\infty e^{-sx}f(x)dx \\[10pt] &= e^{-s\theta}F(s) \end{align} \]

따라서 시간 지연은 \( L(e^{-\theta s}) = f(t-\theta) \)로 표현된다. 시간 지연 특성을 델타 함수로 설명하면, 정의를 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\[ \delta(t-\theta) = \begin{cases} \infty & (t= \theta) \\ 0 & (t\ne 0) \end{cases} \]

이것은 디락의 델타 함수(Dirac's delta function) 또는 크로네커 델타(Kronecker Delta)이다.  디락의 델타 함수는 특정한 한 시점에서만 값이 존재하며 나머지 시점에서는 0의 값을 가지는 함수이다. 

특정 시점에서만 값을 가지는 함수를 적분하게 되면 t가 -∞이므로 0의 값이어야 하는데, 이 함수는 값을 가지는 시점에 대해 적분하면 값이 1이 되는 특이 함수(Singularity function)이다.

\[ \int_0^\infty  \delta(t-\theta)dt = 1 \]

이 함수를 구해보자. 함수 f(t)를 힘이라고 할 때, 일정 시간 동안 가해진 충격은 f(t)를 그 시간만큼 적분하면 구할 수 있다. 이것은 충격량(Impulse)이라고 한다.

함수 f(t)를 다음과 같이 정의하고, 식을 유도한다.

Dirac’s delta function

\[ \delta(t-a) = \begin{cases} \infty & (t=a) \\ 0 & (t\ne 0) \end{cases} \]

\[ \int_0^\infty \delta(t-a)dt = 1 \]

Impulse

\[ f\varDelta(t-a) = \begin{cases} \frac{1}{\varDelta} & (a\le t \le a + \varDelta) \\ 0 & (\text{나머지}) \end{cases} \]

정의에 따른 충격량을 그림으로 나타내면 아래와 같다.

Impulse graph

충격량 IΔ는 함수 f(t)를 적분하면 구할 수 있다.

\[ \begin{align} I_\varDelta &= \int_0^\infty f_\varDelta(t-a)dt = \int_a^{a+\varDelta} \frac{1}{\varDelta}dt \\[10pt] &= \frac{1}{\varDelta}\cdot t |_a^{a+\varDelta} = 1 \end{align} \]

위 그래프를 단위 계단 함수(unit step function)로 나타내면 아래 식으로 표현 가능하며, 단위 계단 함수는 특정 시점에서 1의 값을 가지는 것을 알 수 있다.

\[ f_\varDelta = \frac{1}{\varDelta} \{u(t-a) - u(t - (a + \varDelta))\} \]

라플라스 변환을 해보자.

\[ \begin{align} L\{f_\varDelta (t-a)\} &= \frac{1}{\varDelta} \left \{\frac{e^{-as}}{s} - \frac{e^{-(a+\varDelta)s}}{s} \right \} \\[10pt] &= \frac{1}{s\varDelta} \left \{e^{-as}-e^{-(a+\varDelta)s} \right \} \\[10pt] &= e^{-as} \left \{\frac{1-e^{-s\varDelta}}{s\varDelta} \right \} \end{align} \]

Impulse Δ→0로 하면

\( \delta(t-a) = \lim_{\varDelta \to 0} f_\varDelta (t - a) \)이므로

\[ \begin{align} L\{\delta(t-&a)\} = L\left\{\lim_{\varDelta \to 0}f_\varDelta (t-a)\right\} \\[10pt] &= \lim_{\varDelta \to 0} e^{-as} \left \{\frac{\frac{d}{d\varDelta}(1-e^{-s\varDelta})}{\frac{d}{d\varDelta}(s\varDelta)} \right\} \\[10pt] &=\lim_{\varDelta \to 0} e^{-as} \left \{\frac{se^{-s\varDelta}}{s} \right\} \end{align} \]

따라서 \( L\{\delta (t-a)\} = K_p \cdot f(t-\theta) \)이다.

이처럼 Dead time with gain의 Laplace 모델은 시스템 이득과 지연 특성을 가진다.

f(t)=K_p  L(e^(-θs) )=K_p∙f(t-θ)

\[ f(t) = K_p \ L(e^{-\theta s}) = K_p \cdot f(t-\theta) \]

Dead time=5, Gain=1일 때는 아래와 같이 5초 후에 사건이 발생하는 지연 특성을 가진다.

 

응답 특성 - Laplace

이러한 특성은, 입력 신호에 따른 출력 신호와의 관계인 응답 특성을 통해 이득과 지연 특성을 조절할 수 있다.

Z 변환(Z-transform)

Z 변환은 Laplace 모델을 역변환하여 시간 함수로 만들고, 만들어진 시간 함수를 Z변환의 정의에 따라 변환하는 방법이 있다. 또한 Laplace 변환과 Z 변환의 전달 함수 관계에 따라 변환하는 방법이 있다.

Laplace 모델에서 dead time with gain은 시간 함수를 Z 변환의 정의 따라 변환해보자. 지연 특성의 이산 신호의 정의는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\[ \delta(n-k) = \begin{cases} 1 & (n=k) \\ 0 & (n\ne k) \end{cases} \]

위와 같이 이산 시스템에서 충격량은 측정 주기와 동일할 때 발생되며, 이 시점에서 데이터의 표본화(sampling)가 이루어진다. Z 변환은

\[ \begin{align} F(z) &= Z[f(t)] = Z[f(kT)] \\[10pt] &= \sum_{k=0}^{\infty} f(kT) z^{-k} \end{align} \]

dead time은

\[ F(z)=Z[f(k)]=z^{-k} \]

k는 θ로, θ만큼 지연된 모습이며, Gain Kp를 가지는 \( K_p e^{-θs} \)는 다음과 같다.

\[ \begin{align} Kp \cdot L\{\delta(t-\theta)\} &=K_p\cdot e^{-\theta s} \\[10pt] &=K_p \cdot Z[f(n-θ)] \\[10pt] &=K_p·z^{-θ} \end{align} \]

이를 차분 방정식 형태로 나타내면,

\[ \begin{align} F(z) &= \frac{Output(zero-state \ response)}{Input} \\[10pt] &=\frac{Y(z)}{X(z)} \end{align} \]

\[ (Input)Y(z)=(Output)X(z) \]

\[ (1)Y(z)=(Kp \cdot z^{-θ})X(z) \]

좌측 수식의 y[k]에 해당하는 것을 기준으로 나타내면 다음과 같다.

\[ y[k]=Kp \cdot f[k-θ] \]

여기서 Dead time인 θ가 5초 일 때의 특성을 시각적으로 나타내면 5초의 지연을 가지는 형태의 사건이 발생한다.

 

응답 특성 - Z-transform

Laplace 모델의 dead time with gain의 역변환 응답 특성과 Z 변환을 통한 차분 방정식으로 나타난 응답 특성은 동일하다.