6. Z 변환(Z-transform), 데드 타임 2차 함수와 이득, 감쇄비와 고유진동수(Second order with dead time and gain, Damping ratio and Natural Frequency)

2차 전달 함수에서 Damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 경우를 살펴보자.

Damping ratio( ζ )와 고유진동수( ω_n )로 이루어진 laplace 2차함수의 Z 변환은 역변환 시간함수로 구한다.

\[ \begin{align} L[F(s)] &=  \frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 }\\[12pt] &=K_p\cdot f(t-θ)\cdot \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}\cdot e^{-ζω_n t} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} t \end{align} \]

라플라스 & Z 변환표를 참조하면

\[ δ(n-k)  → Z→ Z^{-k} \]

\[ e^{-akT} sin⁡ω kT → Z→  \frac{e^{-aT} z^{-1}  sin⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT} z^{-2}} \]

δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(ζ ω_n\)이며, cos⁡ω T 의 ω는 \(ω_n \sqrt{1-ζ^2}\) 이다.

\[ \begin{align} F(z)&=K_p\cdot z^{-θ}\cdot \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}\\[12pt] &\cdot \frac{e^{-ζ ω_n T}z^{-1}  sin⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2 } T}{1-2e^{-ζ ω_n T} z^{-1}  cos⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2} T+e^{-2ζ ω_n T}z^{-2}}\\[12pt] &=\frac{K_p  \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}e^{-ζ ω_n T} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} T z^{-θ-1}}{1-2e^{-ζ ω_n T}  cos⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2} T z^{-1}+e^{-2ζ ω_n T} z^{-2}} \end{align} \]

이를 차분 방정식으로 나타내면

\[ F(z)=\frac{Output(zero-state\ response)}{Input}=\frac{Y(z)}{X(z)}\]

\[(Input)Y(z)=(Output)X(z)\]

\[ \begin{align}\left(1-2e^{-ζ ω_n T}  cos⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} T z^{-1}+e^{-2ζ ω_n T}z^{-2} \right)Y(z)\\[12pt]=\left(K_p \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}} e^{-ζ ω_n T} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} T z^{-θ-1} \right)X(z) \end{align} \]

이며, 좌측 수식은 y[k]에 해당한다. y[k]를 기준으로 정리한다.

\[ \begin{align} y[k]&=2e^{-ζ ω_n T}  cos⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2}T\cdot y[k-1]-e^{-2ζ ω_n T}\cdot y[k-2]\\[12pt] &+K_p  \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}e^{-ζ ω_n T} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2 }T \cdot f[k-θ-1] \end{align} \]

Gain=1, θ=0, \(ω_n\)=2, ζ=0.3 표본주기 T=0.1일 때 응답특성은 다음 그림과 같다.

 

Z-transform Second order with Damping ration, Natural frequency

이것은 Laplace 역변환과 Z 변환을 통한 응답특성이 동일하다.