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Z 변환(Z-transform), 시상수로 이루어진 2차 전달 함수 각각의 시상수를 가진 2차 시스템의 Z 변환은 Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달함수의 관계식에 대입하여 구한다. \[ \begin{align} F(z)&=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1} )Z\left\{\frac{ \frac{K_p e^{-θs}}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{Kpe^{-θs}}{s^2 (1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{Kpe^{-θs}  \frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \] 시상수로 이루어진 2차 전달 함수의 응답 특성 위의 수식에서 \(e^{-θs}\)는 \(z^{-k}\)와 같으므로 \(z^{-θ}\)이고, Kp는 상수이다.  \[=Kp z^{-θ}(1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}  \frac{1}{s} \right\} \] \(\frac{1}{s}\)은 라플라스와 Z 변환표를 참조하여 정리한다. \[ \begin{align} =Kp z^{-θ} (1-z^{-1} )\left( \frac{1}{1-z^{-1} }\right)Z\left\{\frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)} \right\} \end{align}\] \[ =Kp z^{-θ} Z\left\{\frac{1}{s}+\left(\frac{τ_1}{τ_2-τ_1}\right) \cdot \left(\frac{1}{s+\frac{1}{τ_1}}\right)-\left(\frac...

Z 변환(Z-transform), Overdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ>1 역변환된 시간함수로 구한다. 역변환된 함수는 다음과 같다. \[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1}(ζ-\sqrt{ζ^2-1})}+\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) }  \right\} \] \[ \begin{align} =K_p\cdot f(t-θ)& \left\{1-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1}) }e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\right.\\[12pt]&\left.+  \frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1} ) }e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t} \right\} \end{align} \] ζ>1, Overdamped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 참조하자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ 1 → Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \] \[ e^{-akT}  → Z→  \frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1} } \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 각각 \((ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \), \((ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left(\frac{1}{1-z^{-1}}-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} \frac{1}{1-e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n T} z^{-1} ...

Z 변환(Z-transform), Critically damped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ=1 역변환된 시간함수로 구한다. \[ \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 }  \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\}\\[12pt]&=K_p\cdot f(t-θ)\cdot (1-e^{-ω_n t}-e^{-ω_n t} ω_n t) \end{align} \] ζ=1, Critically damped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 살펴보자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ kTe^{-akT} → Z→ \frac{ Te^{-aT} z^{-1}}{(1-e^{-aT} z^{-1})^2} \] \[ 1-e^{-akT} → Z→  \frac{(1-e^{-aT})z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-e^{-aT} z^{-1})} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(kTe^{-akT}\)의 k는 \(ω_n\)이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(ω_n\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p \cdot z^{-θ} \cdot &\left\{\frac{(1-e^{-ω_n T} ) z^{-1}}{(1-z^{-1} )(1-e^{-ω_n T} z^{-1}) } \right. \\[12pt] & \left.-ω_n  \frac{Te^{-ω_n T} z^{-1}}{(1-e^{-ω_n T} z^{-1} )^2} \right\} \end{align} \] \(e^{-ω_n T}\)를 e로 대치하고 전개한다. \[ \begin{align} K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left\{\frac{z^{-...

Z 변환(Z-transform), Underdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  1>ζ>0 역변환된 시간함수로 구한다. 역변된 함수는 아래와 같다. \[ K_p e^{-θs} \left\{\frac{1}{s}-\frac{s+ζω_n}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2 }-\frac{ζω_n}{ω_d}   \frac{ω_d}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2}\right\} \] \[→ L^{-1}→\] \[ K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-e^{-ζω_n t} cos⁡ω_d  t-\frac{ζω_n}{ω_d} e^{-ζω_n t} sin⁡ω_d t \right\} \] 1>ζ>0, Underdamped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 참조하자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ 1 → Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \] \[ \begin{align} e^{-akT}  &cos⁡ω kT \ → Z→ \\[12pt] &\frac{1-e^{-aT} z^{-1}  cos⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT}z^{-2}} \end{align} \] \[ \begin{align} e^{-akT}  &sin⁡ω kT \ → Z→  \\[12pt] &\frac{1-e^{-aT} z^{-1} sin⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT} z^{-2}} \end{align} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}  cos⁡ω kT\)와 \(e^{-akT}  sin⁡ω kT \)의 a는 \(ζω_n\)이고, ω는 \(ω_d\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p \cdot z^{-θ} &\c...

Z 변환(Z-transform), Undamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ=0 Damping ratio ζ와 고유진동수 \(ω_n\)으로 이루어진 laplace 2차 함수의 Z 변환은 역변환된 시간 함수로부터 구한다. \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t ) \  \ where \ ζ=0 \end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{ 1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}sin⁡\left(ω_n \sqrt{1-ζ^2} t+cos^{-1}ζ\right) \right\} \ where  \ 1>ζ>0 \end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\} \ where \ ζ=1\end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}+\frac{e^{-(ζ+\sq...

  라플라스(Laplace), 시상수로 이루어진 2차 전달 함수 2개의 1차 함수가 직렬로 연결된 시스템이 각각 시상수(Time constant)를 가지고 있으면 시상수로 이루어진 2차 함수와 같다. \[ \frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)} \] 시상수로 이루어진 2차 전달 함수의 응답 특성 시상수로 이루어진 2차 전달 함수에 계단 함수(Step function) \(\frac{1}{s}\)이 입력일때 전달 함수는 다음과 같다. \[ F(s)=\frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}  \cdot \frac{1}{s}\] \[ =K_p e^{-θs} \cdot \frac{1}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2)} \] \[ =K_p e^{-θs} \cdot \frac{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2-τ_2 s-τ_1 s-τ_1 τ_2 s^2}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2)}  \] 위에서 우변 항을 정리하여 준다. \[ \frac{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2-τ_2 s-τ_1 s-τ_1 τ_2 s^2}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2 )} \] \[=\frac{1}{s}-\frac{τ_2+τ_1+τ_1 τ_2 s}{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2 } \] \[=\frac{1}{s}- \frac{\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2}+s}{s^2+\frac{1}{\tau_1\tau_2}(\tau1+\tau2)s+\frac{1}{\tau_1 \tau_2}  } \] 여기서 \( \frac{1}{τ_1 τ_2 } (τ_1 +τ_2 ) \)은 \(\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2 }\)이므로 \[ =\frac{1}{s}-\frac{s+\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2}}{(s+\frac{1}{τ_1} )(s+\...

라플라스(Laplace), Damping ratio  ζ와 고유진동수 ωn으로 이루어진 2차 전달 함수의 Over-Damped Damping ratio, ζ가 1보다 크면 과도하게 감쇠된 Over-damped의 형태로 나타난다. 역변환된 수식은 다음과 같다. \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)\left\{ 1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} +\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\}     \    where ζ>1 \end{align} \] 지난 글에 이어서 과도 감쇠(Over-damped)가 일어나는 경우의 특성을 살펴보기로 한다. Over-damped 응답 특성 Over-damped 일때 \[ K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1})ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1} )}+\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) } \right\} \] 위의 수식에서 지수함수 \( e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\)과 \(e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\)로부터 시상수 \(τ_1\)과 \(τ_2\)를 알 수 있으며, 역변환하기 전의 수식에서 구할 수 있다. \[ \begin{align} \frac{1}{s}&-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}  \cdot \frac{1}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n)}\\[12pt]&+\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \cdot \...

라플라스(Laplace), Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달 함수의 Under-damped Damping ratio, ζ에 따라 역변환된 수식을 정리해보면 다음과 같다. \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t) \ \ \ \ where \ ζ=0 \end{align} \] \[ \begin{align} f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}  sin⁡(ω_n \sqrt{1-ζ^2 } t+cos^{-1}ζ) \right\} \  \  where  \ 1>ζ>0 \end{align} \] \[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\}  \ \        where \ ζ=1 \] \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)\left\{ 1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} +\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\}     \    where ζ>1 \end{align} \] Damping ratio ζ와 고유 진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 입력으로서 계단 입력을 주었을 때의 응답 특성, Gain=1, θ=0, ω_n=2이며 ζ=0, 0.3, 1, 2의 값을 사용한 경우 다음과 같은 특성을 볼 수 있다. Undamped ωn=2, ζ=0   Under-damped ωn=2, ζ=0.3 Cirtically damped ωn=2, ζ=1   Over-damped ωn=2, ζ=2 각각의 Undampe...

라플라스(Laplace), 감쇠비(Damping ratio)에 따른 응답특성과 전달함수(Over-damped) 2차 함수의 시스템에서  damping ratio ζ에 따라 Underdamped, Undamped, Critically Damped, Over Damped 형태로 나타난다. underdamped: 0<ζ<1 undamped:  ζ=0 critically damped:  ζ=1 over-damped:  ζ>1 이번 글에서는  damping ratio ζ >1인 경우의 Over-damped 를 살펴보기로 한다.   Over-damped,  ζ>1 감쇠비가 1보다 큰 경우를 Over-damped라고 한다. damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 계단 함수 1/s을 입력으로 하고, over-damped:  ζ>1일때 함수이다. \[ \begin{align} F(s)&=\frac{1}{s}\frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\\[12pt]&= K_p e^{-θs} \frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2+ζ^2{ω_n}^2-ζ^2{ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs} \frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+ζ^2 {ω_n}^2-ζ^2 {ω_n}^2+{ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{(s+ζω_n)^2-{ω_n}^2 (ζ^2-1)} \end{align} \] 라플라스 연산자 s를 포함하는 우측의 수식은 인수 분해를 이용하여 아래와 같이 전개한다. \[ \be...

라플라스(Laplace) 감쇠비(Damping ratio)에 따른 응답특성과 전달함수 2차 함수로 표현되는 시스템에서  damping ratio ζ>1 인 경우는 과도하게 감쇠되어 Over-damped가 발생한다. 반대로 damping ratio ζ<1 인 경우는 감쇠가 부족하여 Under-damped가 발생한다. Over-damped는 목표값에 수렴 하지만 시간이 길어지는 특성이 나타나고, Under-damped는 수렴 범위를 초과(over-shout)하는 응답 특성이 나타난다.  Over-damped(ωn=1, ζ=2) Under-damped(ωn=1, ζ=0.6) underdamped: 0<ζ<1 undamped:  ζ=0 critically damped:  ζ=1 over-damped:  ζ>1 여기에서 Underdamped, Undamped, Critically damped를 살펴보고, Over-damped의 전달 함수는 다음 글에서 계속 살펴보기로 한다. 고유 진동수 ω_n, damping ratio ζ, gain Kp 그리고 dead time \(e^{-θ}\)으로 표현되는 2차 함수는 아래처럼 표현된다. \[ F(s)=  \frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2} \] 계단 함수 1/s을 입력으로 하고, ζ에 따른 응답 특성을 확인 하기 위한 역변환된 전달 함수를 도출하기로 한다. Underdamped,  0<ζ<1 감쇠비가 0과 1사이에 있는 경우를 Underdamped라고 한다. damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 계단 함수 1/s을 입력으로 하고, underdamped: 0<ζ<1일때 전달 함수는 다음과 같다. \[ \begin{align} F(s)&= \frac{1}{s}   \frac{K_p e^{-θs} {ω_n...

2차 전달 함수에서 시상수로 이루어진 경우를 살펴보자. 시상수로 이루어진 2차 함수의 Z 변환은 Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달함수의 관계에 2차 함수를 대입하여 구할 수 있다. \[ \begin{align} F(z)&=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\}=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{\frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{ \frac{K_pe^{-θs}}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{K_pe^{-θs}\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \] 여기서 \(e^{-θs}\)는 \(z^{-k}\)와 같으므로 \( z^{-θ}\)이고, \(K_p\)는 상수이다. \[=K_p z^{-θ}(1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \] \(\frac{1}{s}\)은 라플라스 & Z-변환표를 참조하여 정리한다. \[ \begin{align} &=K_p z^{-θ}(1-z^{-1})\left( \frac{1}{1-z^{-1}}\right)Z\left\{\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ}Z\left\{\frac{1}{τ_1 τ_2 s^2+τ_1 s+τ_2 s+1}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ} Z\left\{\frac{\frac{1}{τ_1 τ_2 }}{s^2+\frac{τ_1 s}{τ_1 τ_2}+\frac{τ_2 s}{τ_1 τ_2 }...