11. 라플라스(Laplace), Damping ratio ζ와 고유진동수 ωn으로 이루어진 2차 전달 함수의 Over-damped


라플라스(Laplace), Damping ratio ζ와 고유진동수 ωn으로 이루어진 2차 전달 함수의 Over-Damped


Damping ratio, ζ가 1보다 크면 과도하게 감쇠된 Over-damped의 형태로 나타난다. 역변환된 수식은 다음과 같다.


\[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)\left\{ 1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} +\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\}     \    where ζ>1 \end{align} \]


지난 글에 이어서 과도 감쇠(Over-damped)가 일어나는 경우의 특성을 살펴보기로 한다.


Over-damped 응답 특성


Over-damped 일때


\[ K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1})ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1} )}+\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) } \right\} \]


위의 수식에서 지수함수 \( e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\)과 \(e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\)로부터 시상수 \(τ_1\)과 \(τ_2\)를 알 수 있으며, 역변환하기 전의 수식에서 구할 수 있다.


\[ \begin{align} \frac{1}{s}&-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}  \cdot \frac{1}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n)}\\[12pt]&+\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \cdot \frac{1}{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n } \end{align} \]


여기에서 중간의 항은 다음과 같이 변경한다.


\[ \begin{align} &\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} \cdot \frac{1}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n }\\[12pt]&=\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1})s+2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1})^2 ω_n}\\[12pt]&=\frac{\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}(ζ-\sqrt{ζ^2-1})^2 ω_n}}{{\frac{1}{(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n }} s+1}\\[12pt]&=\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})^2 ω_n} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n}s+1} \end{align} \]


위 식을 보면 시상수를 알 수 있으며, 지수함수의 역수임을 알 수 있다. 이에 시상수 \(τ_1\)과 \(τ_2\)를 구한다.


\[ τ_1=\frac{1}{(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n } \]
\[ τ_2=\frac{1}{(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n } \]


Gain=1, θ=0, ω_n=2, ζ=2일 때 시상수 \(τ_1, \ τ_2\)는 


\[ τ_1=\frac{1}{(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n} =1.866025404 \]
\[ τ_2=\frac{1}{(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n} =0.133974596 \]


역변환된 수식에 따라 


\[ τ_1+τ_2=2 \]


그러므로 2초 일때 약 63.2%의 응답 특성을 가진다. 이것은 ζ가 커질수록 정확해진다.


응답특성 Over-damped
응답특성 Over-damped



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