8. 라플라스(Laplace), 감쇠비(Damping ratio)에 따른 Damped 응답 특성(Underdamped, Undamped, Critically damped)


라플라스(Laplace) 감쇠비(Damping ratio)에 따른 응답특성과 전달함수


2차 함수로 표현되는 시스템에서 damping ratio ζ>1 인 경우는 과도하게 감쇠되어 Over-damped가 발생한다. 반대로 damping ratio ζ<1 인 경우는 감쇠가 부족하여 Under-damped가 발생한다. Over-damped는 목표값에 수렴 하지만 시간이 길어지는 특성이 나타나고, Under-damped는 수렴 범위를 초과(over-shout)하는 응답 특성이 나타난다. 

Over-damped(ωn=1, ζ=2)
Over-damped(ωn=1, ζ=2)


Under-damped(ωn=1, ζ=0.6)
Under-damped(ωn=1, ζ=0.6)

  • underdamped: 0<ζ<1
  • undamped:  ζ=0
  • critically damped:  ζ=1
  • over-damped:  ζ>1
여기에서 Underdamped, Undamped, Critically damped를 살펴보고, Over-damped의 전달 함수는 다음 글에서 계속 살펴보기로 한다.


고유 진동수 ω_n, damping ratio ζ, gain Kp 그리고 dead time \(e^{-θ}\)으로 표현되는 2차 함수는 아래처럼 표현된다.


\[ F(s)=  \frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2} \]

계단 함수 1/s을 입력으로 하고, ζ에 따른 응답 특성을 확인 하기 위한 역변환된 전달 함수를 도출하기로 한다.





Underdamped, 0<ζ<1


감쇠비가 0과 1사이에 있는 경우를 Underdamped라고 한다.
damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 계단 함수 1/s을 입력으로 하고, underdamped: 0<ζ<1일때 전달 함수는 다음과 같다.

\[ \begin{align} F(s)&= \frac{1}{s}   \frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs} \frac{1}{s} \frac{{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}   \frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2+ζ^2 {ω_n}^2-ζ^2 {ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 (1-ζ^2)}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{(s+ζω_n)^2-(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2\{(1-ζ^2 )+ζ^2)\} }{s\{(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 (1-ζ^2 )\} }\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 (1-ζ^2 )-(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 ζ^2}{s\{(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 (1-ζ^2 )\}}\\[12pt] &= K_p e^{-θs} \frac{(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 (1-ζ^2 )-s^2-2sζω_n-{ω_n}^2 ζ^2+{ω_n}^2 ζ^2}{s\{(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 (1-ζ^2 )\}}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 (1-ζ^2 )-s^2-2sζω_n}{s\{(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 (1-ζ^2 )\}}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 (1-ζ^2 )-s(s+2ζω_n)}{s\{(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 (1-ζ^2 )\}}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\left\{ \frac{1}{s}+\frac{-s-2ζω_n}{(s+ζω_n)^2+{ω_n}^2 (1-ζ^2 )}\right\} \end{align} \]

여기서 \( ω_d=ω_n \sqrt{1-ζ^2 }\) 라하면, \({ω_d}^2={ω_n}^2 (1-ζ^2) \)이므로

\[ \begin{align} &= K_p e^{-θs} \left\{ \frac{1}{s}+\frac{-s-ζω_n-ζω_n}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2 }\right\}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}  \left\{\frac{1}{s} +\frac{-s-ζω_n}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2}+\frac{-ζω_n}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2 )} \right\}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\left\{\frac{1}{s}-\frac{s+ζω_n}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2}-\frac{ζω_n}{ω_d}\frac{ω_d}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2}\right\} \end{align} \]

라플라스 변환표를 이용하면
\[ \frac{1}{s}→ L→ 1\]
\[ \frac{s+a}{(s+a)^2+ω^2} → L→ e^{-at} cos⁡ω t\]
\[\frac{ω}{(s+a)^2+ω^2} → L→ e^{-at}  sin⁡ω t \]

그러므로 F(s)의 역변환은 아래와 같다.
\[ \begin{align} &K_p e^{-θs}\left\{\frac{1}{s}-\frac{s+ζω_n}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2)}-\frac{ζω_n}{ω_d}\frac{ω_d}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2}\right\}\\[12pt]&→ L^{-1}→\\[12pt] &K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-e^{-ζω_n t}  cos⁡ω_d t-\frac{ζω_n}{ω_d}e^{-ζω_n t}  sin⁡ω_d t\right\} \end{align} \]

여기서 \(ω_d = ω_n \sqrt{1-ζ^2}\) 이므로
\[ \begin{align} f(t) &=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-e^{-ζω_n t} cos⁡ ω_d  t-\frac{ζω_n}{ω_n \sqrt{1-ζ^2}} e^{-ζω_n t}  sin⁡ω_d  t\right\}\\[12pt] &=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-e^{-ζω_n t} (cos⁡ω_d t+\frac{ζ}{\sqrt{1-ζ^2}} sin⁡ω_d t)\right\}\\[12pt] &=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}\left(\sqrt{1-ζ^2}cos⁡ω_d t+ζ sin⁡ω_d t\right)\right\} \end{align} \]

위 식에서 \( \sqrt{1-ζ^2} cos⁡ω_d t+ζ sin⁡ω_d t\)의 \(\sqrt{1-ζ^2}\)를 sinΦ, ζ를 cosΦ라하면
\[ =K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}\left(sin∅cos⁡ω_d t+cos∅sin⁡ω_d t\right)\right\} \]
이고, 삼각함수에 의해 \(sin∅cos⁡ω_d t+cos∅sin⁡ω_d t\)는 \(sin⁡(ω_d t+∅)\)가 되므로

\[ =K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}sin⁡⁡(ω_d t+∅)\right\} \]

여기서\( ω_d=ω_n \sqrt{1-ζ^2}, cos⁡∅=ζ\)이므로 역변환된 전달함수는 아래와 같다.

\[ =K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}sin⁡⁡(ω_n\sqrt{1-ζ^2}t+cos^{-1}ζ)\right\} \]






undamped, ζ=0


감쇠비가 0인 경우를 Underdamped라고 한다.
위 underdamped 식에서 \( sinΦ=\sqrt{1-ζ^2},\ cosΦ=ζ\)이므로, 

\(tan⁡Φ=\frac{\sqrt{1-ζ^2}}{ζ}\)가 되고, \(ω_d=ω_n \sqrt{1-ζ^2} \)이므로 위 식은 아래와 같다.

\[ \begin{align} &=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}} sin⁡⁡(ω_d t+∅)\right\}\\[12pt] &=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}  sin⁡⁡\left(ω_n\sqrt{1-ζ^2}t+tan^{-1}\frac{\sqrt{1-ζ^2}}{ζ}\right)\right\} \end{align} \]

여기에 ζ=0을 대입하면 아래와 같다.
\[ \begin{align} &=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-0ω_n t}}{\sqrt{1-0^2}}sin⁡⁡\left(ω_n \sqrt{1-0^2} t+tan^{-1}\frac{\sqrt{1-0^2}}{0}\right)\right\}\\[12pt] &=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-sin⁡⁡(ω_n t+tan^{-1} ∞)\right\} \end{align} \]

여기서 ∞가 되는 tan는 π/2이므로
\[ =K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\left(sinω_n t cos⁡\frac{π}{2}+cosω_n t sin⁡\frac{π}{2} \right) \right\} \]

여기서 \( cos⁡\frac{π}{2}=0, sin⁡\frac{π}{2}=1\)이므로 역변환된 전달함수는 아래와 같다.

\[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t) \]
 



Critically damped, ζ=1


감쇠비가 1인 경우를 Critically damped라고 한다.
위 undamped 식에서 \(ω_d=ω_n \sqrt{1-ζ^2}\)이므로

\[ \begin{align}&=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}} sin⁡⁡(ω_n\sqrt{1-ζ^2}t+∅) \right\}\\[12pt] &=K_p\cdot f(t-θ)\left[1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}\left\{sin⁡(ω_n\sqrt{1-ζ^2}t) cos⁡∅+cos⁡(ω_n\sqrt{1-ζ^2} t)  sin⁡∅ \right\}\right] \end{align} \]

여기서 \( sinΦ=\sqrt{1-ζ^2}, cosΦ=ζ\)이므로
\[ \begin{align} &=K_p\cdot f(t-θ)\left[1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}\left\{sin⁡(ω_n \sqrt{1-ζ^2} t)  ζ+cos⁡(ω_n \sqrt{1-ζ^2} t) \sqrt{1-ζ^2}\right\}\right] \end{align} \]

여기서 ζ가 1에 근접하면, \(sin⁡(ω_n\sqrt{1-ζ^2} t)ζ\)는 \(ω_n \sqrt{1-ζ^2}t, cos⁡(ω_n\sqrt{1-ζ^2}t)ζ\)는 1이므로
\[ \begin{align}&=K_p\cdot f(t-θ)\left[1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}} \left\{(ω_n \sqrt{1-ζ^2} t)+\sqrt{1-ζ^2}\right\}\right]\\[12pt]&=K_p\cdot f(t-θ)\left[1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}} \left\{\sqrt{1-ζ^2}(ω_n t+1)\right\}\right]\\[12pt]&=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-e^{-ζω_n t} (ω_n t+1)\right\} \end{align} \]

여기서 ζ가 1에 근접하면 \(e^{-ζω_n t}\)는 \(e^{-ω_n t}\)이므로, 역변환된 전달함수는 아래와 같다.

\[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\right\} \]



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