10. 라플라스(Laplace), Damping ratio ζ와 고유진동수 ωn으로 이루어진 2차 전달 함수의 Under-damped


라플라스(Laplace), Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달 함수의 Under-damped


Damping ratio, ζ에 따라 역변환된 수식을 정리해보면 다음과 같다.
\[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t) \ \ \ \ where \ ζ=0 \end{align} \]
\[ \begin{align} f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}  sin⁡(ω_n \sqrt{1-ζ^2 } t+cos^{-1}ζ) \right\} \  \  where  \ 1>ζ>0 \end{align} \]
\[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\}  \ \        where \ ζ=1 \]
\[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)\left\{ 1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} +\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\}     \    where ζ>1 \end{align} \]


Damping ratio ζ와 고유 진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 입력으로서 계단 입력을 주었을 때의 응답 특성, Gain=1, θ=0, ω_n=2이며 ζ=0, 0.3, 1, 2의 값을 사용한 경우 다음과 같은 특성을 볼 수 있다.


Undamped ωn=2, ζ=0
Undamped ωn=2, ζ=0

 
Under-damped ωn=2, ζ=0.3
Under-damped ωn=2, ζ=0.3


Cirtically damped ωn=2, ζ=1
Cirtically damped ωn=2, ζ=1

 
Over-damped ωn=2, ζ=2
Over-damped ωn=2, ζ=2

각각의 Undamped, Under-damped, Critically damped, Over-damped의 특성 중 Under-damped 특성을 알아보자.



Under-damped 응답 특성


Damping ratio ζ 가 0보다 크고 1보다 작을 때 즉, under-damped인 응답 특성은 다음과 같다.


응답특성 Under-damped
응답특성 Under-damped


응답 특성에서 안정화 시간(settling time, Ts)은 안정된 구간을 최종값의 2%이하로 하면 \(e^{-ζω_n t}\)<0.02 이어야 한다. 그리고 1차 함수에서 다룬 시상수(Time constant)가 4T일 때 2% 이하를 만족하게 된다.

\[ ζω_n T_s ≅4 \]
\[ ∴ T_s  ≅4τ=  \frac{4}{ζω_n }\]

응답 특성의 최대값 시간(Peak time, TP)은 응답특성이 최대치인 순간이므로 함수 f(t)를 미분하였을 때 0인 값이 되는 순간이다.

\[ 1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}  sin⁡(ω_n \sqrt{1-ζ^2}t+∅)\]
\[ \begin{align} \frac{d}{dt}&=-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}} ω_n \sqrt{1-ζ^2} cos⁡\{(ω_n \sqrt{1-ζ^2})t+∅ \}\\[12pt]&-\frac{(-ζω_n)e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}sin⁡\{(ω_n \sqrt{1-ζ^2})t+∅ \} \end{align} \]
\[ \begin{align} \frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}} \left[-ω_n \sqrt{1-ζ^2}  cos⁡\left\{\left(ω_n \sqrt{1-ζ^2 }\right)t+∅ \right\} \\[12pt]+\left\{ζω_n sin \left(ω_n \sqrt{1-ζ^2}\right)t+∅\right\}\right]   \end{align} \]

이때 미분값이 \( \frac{d}{dt}=0\)이므로

\[ ω_n \sqrt{1-ζ^2} cos⁡\{(ω_n \sqrt{1-ζ^2} )t+∅ \}=ζω_n sin\{(ω_n \sqrt{1-ζ^2})t+∅\} \]
\[ \rightarrow tan\{(ω_n \sqrt{1-ζ^2})t+∅ \}=\frac{ω_n \sqrt{1-ζ^2}}{ζω_n}=\frac{\sqrt{1-ζ^2}}{ζ}=tan⁡∅ \]

여기서\( (ω_n \sqrt{1-ζ^2})t \)는 시간에 따른 각도가 되므로 \( (ω_n \sqrt{1-ζ^2})t=π \)이고 시간(Peak time)에 대해 정리한다.

\[ T_P=  \frac{π}{ω_n \sqrt{1-ζ^2}} \]

최대 응답(Peak response, Mp)은 peak time을 수식에 적용하여 준다.

\[ \begin{align} 1-&\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}  sin⁡(ω_n \sqrt{1-ζ^2} t+∅)\\[12pt]&=1-\frac{e^{-ζω_n} \frac{π}{ω_n \sqrt{1-ζ^2}}}{\sqrt{1-ζ^2}} sin⁡(ω_n \sqrt{1-ζ^2}\frac{π}{ω_n \sqrt{1-ζ^2}} +∅)\\[12pt]&=1-\frac{e^{-\frac{ζπ}{\sqrt{1-ζ^2}}}}{\sqrt{1-ζ^2}} sin⁡( π+∅)\\[12pt]&=1-\frac{e^{-\frac{ζπ}{\sqrt{1-ζ^2}}}}{\sqrt{1-ζ^2}} sin⁡π+\frac{e^{-\frac{ζπ}{\sqrt{1-ζ^2}}}}{\sqrt{1-ζ^2}} sin⁡∅ \\[12pt]&=1+\frac{e^{-\frac{ζπ}{\sqrt{1-ζ^2}}}}{\sqrt{1-ζ^2}}  sin⁡∅\\[12pt]&=1+\frac{e^{-\frac{ζπ}{\sqrt{1-ζ^2}}}}{\sqrt{1-ζ^2}}\sqrt{1-ζ^2} \end{align} \]

\[ M_P=1+e^{-\frac{ζπ}{\sqrt{1-ζ^2}}} \]

그러므로 응답 특성은 \( Gain=1,\ θ=0,\ ω_n=2,\ ζ=0.3\)일 때,

\(T_s  =6.667, \ T_P=1.647,\ Mp=1.372\)의 특성을 가진다.




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