9. 라플라스(Laplace), 감쇠비(Damping ratio)에 따른 Damped 응답 특성(Over-damped)
라플라스(Laplace), 감쇠비(Damping ratio)에 따른 응답특성과 전달함수(Over-damped)
2차 함수의 시스템에서 damping ratio ζ에 따라 Underdamped, Undamped, Critically Damped, Over Damped 형태로 나타난다.
- underdamped: 0<ζ<1
- undamped: ζ=0
- critically damped: ζ=1
- over-damped: ζ>1
Over-damped, ζ>1
감쇠비가 1보다 큰 경우를 Over-damped라고 한다.
damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 계단 함수 1/s을 입력으로 하고, over-damped: ζ>1일때 함수이다.
\[ \begin{align} F(s)&=\frac{1}{s}\frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\\[12pt]&= K_p e^{-θs} \frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2+ζ^2{ω_n}^2-ζ^2{ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs} \frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+ζ^2 {ω_n}^2-ζ^2 {ω_n}^2+{ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{(s+ζω_n)^2-{ω_n}^2 (ζ^2-1)} \end{align} \]
라플라스 연산자 s를 포함하는 우측의 수식은 인수 분해를 이용하여 아래와 같이 전개한다.
\[ \begin{align} &\frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{(s+ζω_n)^2-{ω_n}^2 (ζ^2-1)}\\[12pt]&=\frac{{ω_n}^2}{s\{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}\{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}} \end{align} \]
부분 분수를 전개한다.
\[ \begin{align} &\frac{{ω_n}^2}{s\{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n\}\{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}}\\[12pt] &=\frac{A\{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n\}\{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}+Bs\{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}+Cs\{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}}{s\{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}\{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}}\\[12pt]&=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n }+\frac{C}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n } \end{align} \]
A, B 및 C는 미정계수로 A항, B항 및 C항별로 전개한다.
A항에 따른 식을 전개하면 아래와 같다.
\[ \begin{align} &A\left[\{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}\{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}\right]\\[12pt] &=A\left[(s+ω_n ζ+ω_n \sqrt{ζ^2-1})(s+ω_n ζ-ω_n \sqrt{ζ^2-1})\right]\\[12pt] &=A\left[s^2+ω_n ζs-ω_n \sqrt{ζ^2-1} s+ω_n ζs+{ω_n}^2 ζ^2-{ω_n}^2 ζ\sqrt{ζ^2-1}+ω_n \sqrt{ζ^2-1} s+{ω_n}^2 ζ\sqrt{ζ^2-1}-{ω_n}^2 (ζ^2-1)\right] \end{align} \]
B항에 따른 식을 전개하면 아래와 같다.
\[ \begin{align} &B\left[s\{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}\right]\\[12pt]&=B\left[s(s+ω_n ζ-ω_n \sqrt{ζ^2-1})\right]\\[12pt]&=B\left[s^2+ω_n ζs-ω_n \sqrt{ζ^2-1} s\right] \end{align} \]
C항에 따른 식을 전개하면 아래와 같다.
\[ \begin{align} &C\left[s\{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \}\right]\\[12pt] &=C\left[s(s+ω_n ζ+ω_n \sqrt{ζ^2-1})\right]\\[12pt] &=C\left[s^2+ω_n ζs+ω_n \sqrt{ζ^2-1} s\right] \end{align} \]
A, B 및 C항을 전개하여 전개된 식을 각각의 s항별로 정리한다.
\[ s^2 (A+B+C)\]
\[ s\left(2Aω_n ζ+Bω_n ζ+Cω_n ζ-Bω_n \sqrt{ζ^2-1}+Cω_n \sqrt{ζ^2-1}\right) \]
\[ A{ω_n}^2 ζ^2-A{ω_n}^2 (ζ^2-1) \]
위에서 각 항별로 값을 대입한다.
\[ A+B+C=0\]
\[ 2Aω_n ζ+Bω_n ζ+Cω_n ζ-Bω_n \sqrt{ζ^2-1}+Cω_n \sqrt{ζ^2-1}=0 \]
\[A{ω_n}^2 ζ^2-A{ω_n}^2 (ζ^2-1)={ω_n}^2 \]
위 식으로부터 미정계수 A, B 및 C를 구해준다.
\[ A{ω_n}^2 ζ^2-A{ω_n}^2 (ζ^2-1)={ω_n}^2\]
\[A\{{ω_n}^2 ζ^2-{ω_n}^2 (ζ^2-1)\}={ω_n}^2\]
\[\begin{align}∴ A&=\frac{{ω_n}^2}{{ω_n}^2 ζ^2-{ω_n}^2 (ζ^2-1) }\\[12pt]&=\frac{1}{ζ^2-(ζ^2-1) }=1 \end{align} \]
\[ 2Aω_n ζ+Bω_n ζ+Cω_n ζ-Bω_n \sqrt{ζ^2-1}+Cω_n \sqrt{ζ^2-1}=0 \]
\[ 2ω_n ζ+ω_n ζ(B+C)-ω_n \sqrt{ζ^2-1}(B-C)=0\]
A=1, A+B+C=0이므로 B+C=-1을 대입하고
\[2ω_n ζ-ω_n ζ-ω_n \sqrt{ζ^2-1}(B-C)=0\]
B+C=-1이므로 B=-C-1을 대입하고
\[ ω_n ζ-ω_n \sqrt{ζ^2-1}(-C-1-C)=0\]
\[ -ω_n \sqrt{ζ^2-1} (-2C-1)=-ω_n ζ\]
\[-2C-1=\frac{ω_n ζ}{ω_n \sqrt{ζ^2-1}}\]
\[\begin{align}∴C&=\left(\frac{ω_n ζ}{ω_n \sqrt{ζ^2-1}}+1\right) \cdot -\frac{1}{2}\\[12pt]&=-\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}} -\frac{1}{2}\end{align} \]
B+C=-1이므로 C=-B-1을 대입하면
\[ 2ω_n ζ-ω_n ζ-ω_n \sqrt{ζ^2-1}(B-C)=0\]
\[ ω_n ζ-ω_n \sqrt{ζ^2-1}(B+B+1)=0\]
\[ -ω_n \sqrt{ζ^2-1} (2B+1)=-ω_n ζ\]
\[ 2B+1=\frac{ω_n ζ}{ω_n \sqrt{ζ^2-1}}\]
\[ \begin{align} ∴B=\left(\frac{ω_n ζ}{/ω_n \sqrt{ζ^2-1}}-1\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}} -\frac{1}{2} \end{align} \]
A, B 와 C의 값을 원래의 함수에 대입한다.
\[ \begin{align} &=\frac{1}{s}+\frac{\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}}-\frac{1}{2}}{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n}+\frac{-\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}} -\frac{1}{2}}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1})ω_n}\\[12pt]&=\frac{1}{s}+\frac{\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}} -\frac{1}{2}}{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n }-\frac{\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}}+\frac{1}{2}}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n } \end{align} \]
가운데 항과 우측 항을 정리해준다.
가운데 항은 아래와 같다.
\[ \begin{align} &\frac{\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}} -\frac{1}{2}}{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n )}\\[12pt]&=\left(\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}} -\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n }\\[12pt]&=\left(\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}} -\frac{\sqrt{ζ^2-1}}{2\sqrt{ζ^2-1}}\right)\cdot \frac{1}{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n }\\[12pt]&=\frac{ζ+\sqrt{ζ^2-1}}{ζ+\sqrt{ζ^2-1}}\cdot \frac{ζ-\sqrt{ζ^2-1}}{2\sqrt{ζ^2-1}}\cdot \frac{1}{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n}\\[12pt]&= \frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})}\cdot \frac{1}{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n} \end{align} \]
우측 항을 정리하면 아래와 같다.
\[ \begin{align} &\frac{\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}}+\frac{1}{2}}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n}\\[12pt]&=\left(\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}}+\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n}\\[12pt]&=\left(\frac{ζ}{2\sqrt{ζ^2-1}}+\frac{\sqrt{ζ^2-1}}{2\sqrt{ζ^2-1}}\right)\cdot \frac{1}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n }\\[12pt]&=\frac{ζ-\sqrt{ζ^2-1}}{ζ-\sqrt{ζ^2-1}}\cdot \frac{ζ+\sqrt{ζ^2-1}}{2\sqrt{ζ^2-1}}\cdot \frac{1}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n }\\[12pt]&= \frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}\cdot \frac{1}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n } \end{align} \]
A, B 와 C의 값을 원래의 함수에 대입하여 정리해준다.
\[ \begin{align}&= \frac{1}{s}-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}\cdot \frac{1}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n }\\[12pt]&+\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) }\cdot \frac{1}{s+(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n } \end{align} \]
라플라스 변환표를 이용하면
\[ \frac{1}{s} → L^{-1}→ 1\]
\[ \frac{1}{s+a} → L^{-1}→ e^{-at}\]
여기서 a는 \((ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n\)이므로 전달함수 F(s)의 역변환은 아래와 같다.
\[ \begin{align} f(t) &=K_p\cdot f(t-θ) \left\{ 1-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1} ) }\cdot e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\right.\\[12pt]&+\left. \frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})}\cdot e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1})ω_n t} \right\} \\[20pt] &=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} \right. \\[12pt]&+\left. \frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\} \end{align} \]
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