12. 라플라스(Laplace), 시상수로 이루어진 2차 전달 함수

 

라플라스(Laplace), 시상수로 이루어진 2차 전달 함수


2개의 1차 함수가 직렬로 연결된 시스템이 각각 시상수(Time constant)를 가지고 있으면 시상수로 이루어진 2차 함수와 같다.

\[ \frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)} \]



시상수로 이루어진 2차 전달 함수의 응답 특성


시상수로 이루어진 2차 전달 함수에 계단 함수(Step function) \(\frac{1}{s}\)이 입력일때 전달 함수는 다음과 같다.


\[ F(s)=\frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}  \cdot \frac{1}{s}\]
\[ =K_p e^{-θs} \cdot \frac{1}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2)} \]
\[ =K_p e^{-θs} \cdot \frac{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2-τ_2 s-τ_1 s-τ_1 τ_2 s^2}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2)}  \]


위에서 우변 항을 정리하여 준다.


\[ \frac{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2-τ_2 s-τ_1 s-τ_1 τ_2 s^2}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2 )} \]
\[=\frac{1}{s}-\frac{τ_2+τ_1+τ_1 τ_2 s}{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2 } \]
\[=\frac{1}{s}- \frac{\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2}+s}{s^2+\frac{1}{\tau_1\tau_2}(\tau1+\tau2)s+\frac{1}{\tau_1 \tau_2}  } \]

여기서 \( \frac{1}{τ_1 τ_2 } (τ_1 +τ_2 ) \)은 \(\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2 }\)이므로


\[ =\frac{1}{s}-\frac{s+\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2}}{(s+\frac{1}{τ_1} )(s+\frac{1}{τ_2})} \]


우변 항을 부분분수(Partial fraction)로 전개한다.


\[ \frac{s+\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2}}{(s+\frac{1}{τ_1} )(s+\frac{1}{τ_2 })} =\frac{A}{s+\frac{1}{τ_1}}+\frac{B}{s+\frac{1}{τ_2}} \]


A와 B는 미정계수(Method of undetermined)로 구할 수 있다.


\[ \begin{align} A&(s+\frac{1}{τ_2})+B(s+\frac{1}{τ_1} )\\[12pt]&=s+\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2}\\[12pt]&=As+A\frac{1}{ \tau_2}+Bs+B\frac{1}{ \tau_1} \end{align} \]


s항과 일반항으로 나타내면 다음과 같다.


\[ As+Bs=s \]
\[ A \frac{1}{τ_2} +B \frac{1}{τ_1} =\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2} \]

여기서 s항에서 \(A=1-B\)이므로 이를 적용한다.


\[ (1-B)\frac{1}{τ_2} +B \frac{1}{τ_1} =\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2}\]
\[ \frac{1}{\tau_2}-B\frac{1}{\tau_2}+B\frac{1}{\tau_1}=\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2} \]
\[B(\frac{1}{\tau_1}-\frac{1}{\tau_2})=\frac{1}{\tau_1}\]
\[ \begin{align}∴B&=\frac{\frac{1}{τ_1}} {\frac{1}{τ_1} -\frac{1}{τ_2 }}=\frac{τ_1 τ_2}{τ_1 (τ_2-τ_1)}\\[12pt]&=\frac{τ_2}{τ_2-τ_1 } \end{align} \]
\[∴A=1-\frac{τ_2}{τ_2-τ_1}=\frac{-τ_1}{τ_2-τ_1}\]


A와 B를 대입하여 정리하여 준다.


\[ K_p e^{-θs}\cdot \left\{\frac{1}{s}-\left(\frac{\frac{-\tau_1}{\tau_2 - \tau_1}}{s+\frac{1}{\tau_1}}+\frac{\frac{\tau_2}{\tau_2-\tau_1}}{s+\frac{1}{\tau_2}} \right)\right\} \]
\[ =K_p e^{-θs}\cdot \left\{\frac{1}{s}+\left(\frac{τ_1}{τ_2-τ_1}\right)\cdot \left(\frac{1}{s+\frac{1}{τ_1}}\right)-\left(\frac{τ_2}{τ_2-τ_1} \right) \cdot \left(\frac{1}{s+\frac{1}{τ_2}}\right)\right\} \]


라플라스 변환표를 참조하여 \(\frac{1}{s+a} \)를 풀어서 나타내어보면 다음과 같다.


\[ \frac{1}{s}→ L^{-1}→1 \]
\[ \frac{1}{s+a}→ L^{-1}→e^{-at} \]


\(\frac{1}{τ1}\) 및 \(\frac{1}{τ2}\)을 각각 a로 대치하면 아래와 같다.


\[ s+\frac{1}{τ_1} → L^{-1}→e^{-\frac{t}{τ_1}} \]  
\[ s+\frac{1}{τ_2} → L^{-1}→e^{-\frac{t}{τ_2}} \]


이것으로 역변환 함수를 구한다.


\[ f(t)=K_P\cdot f(t-θ)\cdot \left(1+\frac{τ_1}{τ_2-τ_1} \cdot e^{-\frac{t}{τ_1}} -\frac{τ_2}{τ_2-τ_1} \cdot e^{-\frac{t}{τ_2}}\right) \]

시상수로 이루어진 2차 함수의 \(Gain=1, \ θ=0, \ τ_1=0.01, τ_2=1.5\)일 때의 응답특성은 다음과 같다.

 
Second order function with τ1 τ2
Second order function with τ1 τ2


응답특성을 살펴보면 지수 증가 형태의 그래프로서 시상수 τ1과 τ2에 의해 상승 시간이 결정되며, 수렴 지점은 Gain 값으로 결정된다.



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