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Z 변환(Z-transform), Overdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ>1 역변환된 시간함수로 구한다. 역변환된 함수는 다음과 같다. \[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1}(ζ-\sqrt{ζ^2-1})}+\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) }  \right\} \] \[ \begin{align} =K_p\cdot f(t-θ)& \left\{1-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1}) }e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\right.\\[12pt]&\left.+  \frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1} ) }e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t} \right\} \end{align} \] ζ>1, Overdamped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 참조하자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ 1 → Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \] \[ e^{-akT}  → Z→  \frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1} } \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 각각 \((ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \), \((ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left(\frac{1}{1-z^{-1}}-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} \frac{1}{1-e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n T} z^{-1} ...

Z 변환(Z-transform), Critically damped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ=1 역변환된 시간함수로 구한다. \[ \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 }  \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\}\\[12pt]&=K_p\cdot f(t-θ)\cdot (1-e^{-ω_n t}-e^{-ω_n t} ω_n t) \end{align} \] ζ=1, Critically damped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 살펴보자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ kTe^{-akT} → Z→ \frac{ Te^{-aT} z^{-1}}{(1-e^{-aT} z^{-1})^2} \] \[ 1-e^{-akT} → Z→  \frac{(1-e^{-aT})z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-e^{-aT} z^{-1})} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(kTe^{-akT}\)의 k는 \(ω_n\)이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(ω_n\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p \cdot z^{-θ} \cdot &\left\{\frac{(1-e^{-ω_n T} ) z^{-1}}{(1-z^{-1} )(1-e^{-ω_n T} z^{-1}) } \right. \\[12pt] & \left.-ω_n  \frac{Te^{-ω_n T} z^{-1}}{(1-e^{-ω_n T} z^{-1} )^2} \right\} \end{align} \] \(e^{-ω_n T}\)를 e로 대치하고 전개한다. \[ \begin{align} K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left\{\frac{z^{-...

Z 변환(Z-transform), Underdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  1>ζ>0 역변환된 시간함수로 구한다. 역변된 함수는 아래와 같다. \[ K_p e^{-θs} \left\{\frac{1}{s}-\frac{s+ζω_n}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2 }-\frac{ζω_n}{ω_d}   \frac{ω_d}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2}\right\} \] \[→ L^{-1}→\] \[ K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-e^{-ζω_n t} cos⁡ω_d  t-\frac{ζω_n}{ω_d} e^{-ζω_n t} sin⁡ω_d t \right\} \] 1>ζ>0, Underdamped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 참조하자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ 1 → Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \] \[ \begin{align} e^{-akT}  &cos⁡ω kT \ → Z→ \\[12pt] &\frac{1-e^{-aT} z^{-1}  cos⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT}z^{-2}} \end{align} \] \[ \begin{align} e^{-akT}  &sin⁡ω kT \ → Z→  \\[12pt] &\frac{1-e^{-aT} z^{-1} sin⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT} z^{-2}} \end{align} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}  cos⁡ω kT\)와 \(e^{-akT}  sin⁡ω kT \)의 a는 \(ζω_n\)이고, ω는 \(ω_d\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p \cdot z^{-θ} &\c...

Z 변환(Z-transform), Undamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ=0 Damping ratio ζ와 고유진동수 \(ω_n\)으로 이루어진 laplace 2차 함수의 Z 변환은 역변환된 시간 함수로부터 구한다. \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t ) \  \ where \ ζ=0 \end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{ 1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}sin⁡\left(ω_n \sqrt{1-ζ^2} t+cos^{-1}ζ\right) \right\} \ where  \ 1>ζ>0 \end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\} \ where \ ζ=1\end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}+\frac{e^{-(ζ+\sq...

라플라스(Laplace), Damping ratio  ζ와 고유진동수 ωn으로 이루어진 2차 전달 함수의 Over-Damped Damping ratio, ζ가 1보다 크면 과도하게 감쇠된 Over-damped의 형태로 나타난다. 역변환된 수식은 다음과 같다. \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)\left\{ 1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} +\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\}     \    where ζ>1 \end{align} \] 지난 글에 이어서 과도 감쇠(Over-damped)가 일어나는 경우의 특성을 살펴보기로 한다. Over-damped 응답 특성 Over-damped 일때 \[ K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1})ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1} )}+\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) } \right\} \] 위의 수식에서 지수함수 \( e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\)과 \(e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\)로부터 시상수 \(τ_1\)과 \(τ_2\)를 알 수 있으며, 역변환하기 전의 수식에서 구할 수 있다. \[ \begin{align} \frac{1}{s}&-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}  \cdot \frac{1}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n)}\\[12pt]&+\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \cdot \...

라플라스(Laplace), Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달 함수의 Under-damped Damping ratio, ζ에 따라 역변환된 수식을 정리해보면 다음과 같다. \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t) \ \ \ \ where \ ζ=0 \end{align} \] \[ \begin{align} f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}  sin⁡(ω_n \sqrt{1-ζ^2 } t+cos^{-1}ζ) \right\} \  \  where  \ 1>ζ>0 \end{align} \] \[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\}  \ \        where \ ζ=1 \] \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)\left\{ 1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} +\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\}     \    where ζ>1 \end{align} \] Damping ratio ζ와 고유 진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 입력으로서 계단 입력을 주었을 때의 응답 특성, Gain=1, θ=0, ω_n=2이며 ζ=0, 0.3, 1, 2의 값을 사용한 경우 다음과 같은 특성을 볼 수 있다. Undamped ωn=2, ζ=0   Under-damped ωn=2, ζ=0.3 Cirtically damped ωn=2, ζ=1   Over-damped ωn=2, ζ=2 각각의 Undampe...

라플라스(Laplace) 감쇠비(Damping ratio)에 따른 응답특성과 전달함수 2차 함수로 표현되는 시스템에서  damping ratio ζ>1 인 경우는 과도하게 감쇠되어 Over-damped가 발생한다. 반대로 damping ratio ζ<1 인 경우는 감쇠가 부족하여 Under-damped가 발생한다. Over-damped는 목표값에 수렴 하지만 시간이 길어지는 특성이 나타나고, Under-damped는 수렴 범위를 초과(over-shout)하는 응답 특성이 나타난다.  Over-damped(ωn=1, ζ=2) Under-damped(ωn=1, ζ=0.6) underdamped: 0<ζ<1 undamped:  ζ=0 critically damped:  ζ=1 over-damped:  ζ>1 여기에서 Underdamped, Undamped, Critically damped를 살펴보고, Over-damped의 전달 함수는 다음 글에서 계속 살펴보기로 한다. 고유 진동수 ω_n, damping ratio ζ, gain Kp 그리고 dead time \(e^{-θ}\)으로 표현되는 2차 함수는 아래처럼 표현된다. \[ F(s)=  \frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2} \] 계단 함수 1/s을 입력으로 하고, ζ에 따른 응답 특성을 확인 하기 위한 역변환된 전달 함수를 도출하기로 한다. Underdamped,  0<ζ<1 감쇠비가 0과 1사이에 있는 경우를 Underdamped라고 한다. damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 계단 함수 1/s을 입력으로 하고, underdamped: 0<ζ<1일때 전달 함수는 다음과 같다. \[ \begin{align} F(s)&= \frac{1}{s}   \frac{K_p e^{-θs} {ω_n...

2차 전달 함수에서 Damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 경우를 살펴보자. Damping ratio( ζ )와 고유진동수( ω_n )로 이루어진 laplace 2차함수의 Z 변환은 역변환 시간함수로 구한다. \[ \begin{align} L[F(s)] &=  \frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 }\\[12pt] &=K_p\cdot f(t-θ)\cdot \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}\cdot e^{-ζω_n t} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} t \end{align} \] 라플라스 & Z 변환표를 참조하면 \[ δ(n-k)  → Z→ Z^{-k} \] \[ e^{-akT} sin⁡ω kT → Z→  \frac{e^{-aT} z^{-1}  sin⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT} z^{-2}} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(ζ ω_n\)이며, cos⁡ω T 의 ω는 \(ω_n \sqrt{1-ζ^2}\) 이다. \[ \begin{align} F(z)&=K_p\cdot z^{-θ}\cdot \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}\\[12pt] &\cdot \frac{e^{-ζ ω_n T}z^{-1}  sin⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2 } T}{1-2e^{-ζ ω_n T} z^{-1}  cos⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2} T+e^{-2ζ ω_n T}z^{-2}}\\[12pt] &=\frac{K_p  \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}e^{-ζ ω_n T} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} T z^{-θ-1}}{1-2e^{-ζ ω_n T}  cos⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2} T z^{-1}+e^{-2ζ ω_n T...

라플라스 모델(Laplace model)의 2차 함수(Second order)와 고유 진동수(Natural frequency)와 감쇠비(Damping ratio) 시스템 또는 함수로 나타낸 시스템에서 차수란 전달함수에서 최고차수를 의미한다. Laplace 모델에서는 laplace 연산자인 s의 차수를 의미한다. 감쇠는 시스템에서 외란이 발생한 후 시스템의 진동이 감소하는 것을 나타낸다. 외란은 일종의 입력과 같은 의미이다. 감쇠비 또는 댐핑 비율은 진동의 변화가 변화하는 것을 나타내는 것으로 ζ 로 표시한다.  ζ의 상태에 따라 시스템의 상태를 나타내는데, ζ=0인 경우에는 undamped, 0<ζ<1인 경우에는 underdamped, ζ=1인 경우에는 critically damped, ζ=1에서 ζ>1인 경우에는 overdamped된 시스템이라고 한다. 라플라스 2차 함수의 일반적인 형태는 다음과 같다. \[ laplace \ 2차 함수 =  \frac{{ω_n}^{2} }{s^{2} +2ζω_n s+{ω_n}^{2} } \] \( ω_n \)은 고유 진동수를 나타내며, ζ는 damping ration을 나타낸다. 위 함수에서 이득과 dead time 및 시간상수 또는 시상수(time constant: τ)를 추가하면 다음과 같다. Gain과 dead time이 추가된 2차 함수 \[ =  \frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 } \] 아래와 같은 형태의 2차 전달 함수의 경우를 살펴보자.   Second order 이것을 전달함수로 나타내면 다음과 같다. \[ \frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)} \] 위 함수를 전개하면 \[ \frac{K_P e^{-θs}}{τ_1 τ_2 s^2 +(τ_1+τ_2)s+1 } \] 이처럼 2차 함수로 되어 있으며, damping ratio와 고유진동수 그리고 시상수로 이루어...