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라플라스(Laplace), 역응답 프로세스와 리드 타임(Inverse response process with lead time) 응답특성이 반대의 값으로 나오다가 최종 출력 값으로 수렴하는 것을 역응답(Inverse response)이라고 한다. Inverse response 그림은 응답특성의 출력이 음으로 나오다가 양의 형태로 변하며 최종 출력값으로 수렴되는 것을 나타난다. 라플라스, 역응답 프로세스와 리드 타임 응답특성이 처음에 최종 출력값의 반대로 나타났다가 최종 출력값으로 수렴하는 것을 역응답(inverse response)이라고 하는데 이와  같은 응답특성을 나타내기 위해서는 전달함수에 리드 타임(lead time)을 포함하는 전달함수로 표현이 가능하다. 리드 타임은 역응답 형태를 결정하는 시간 상수를 말한다.  Lead time을 포함하여 1차 함수로 나타내면 다음과 같다. Laplace function with lead time 위 식에 계단형태의 응답특성을 위해 계단입력을 적용하여 준다. Laplace function with lead time multiply step function 여기에 dead time과 시상수를 고려하여 Inverse response process with lead time 의 전달함수를 나타낸다. Transfer function, Inverse response process with lead time 여기서 θ는 dead time, τl은 lead time, τ1, τ2는 시상수(time constant)이다. 이제 위의 식을 역변환(Inverse Laplace transform)하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. Inverse Laplace transform 역변환 과정을 알아보자. 제시된 전달함수를 F(s)라 하면 Solution inverse Laplace transform - 1 위식에서 우측의 수식의 일부를 부분분수(partial fraction)로 전개한다.  Partial...

라플라스(Laplace), 적분과 1차 함수 그리고 데드 타임(Integrator with first order and dead time) Laplace 모델의 1차 함수를 살펴보자. \[ laplace \ 1차 \ 함수\ =  \ \frac{1}{1+s} \] 라플라스 1차 함수에서 적분모델 \(\frac{1}{s}\)을 가지게 되는 전달함수는 아래와 같다. \[ \frac{1}{s}\cdot \frac{1}{1+s} = \frac{1}{s+s^2} \] 적분 모델이 더해진 라플라스 1차함수에서 지연 특성을 가지는 dead time과 시상수를 추가하면 다음과 같다. \[ \frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2} \] 여기서 θ는 dead time, τ1, τ2는 시상수(Time constant)이다. 적분과 데드타임으로 이루어진 1차 함수 특성 적분과 데드 타임 그리고 시상수로 이루어진 라플라스 1차 함수를 역변환하자. \[ \begin{align} &\frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2 } \\[12pt]&→ L^{-1}→\\[12pt] &f(t-θ)\cdot \frac{1}{τ_1}  \left(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} t} \right) \end{align} \] 전달함수 F(s)의 역변환 과정은 다음과 같다. \[ \begin{align} F(s)&=\frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2 }\\[12pt]&=e^{-θs}\frac{1}{τ_1 s+τ_2 s^2}\\[12pt]&=e^{-θs} \frac{1}{s}\frac{1}{τ_2 s+τ_1}\\[12pt]&=e^{-θs}  \frac{τ_2}{τ_2 s(τ_2 s+τ_1)}\\[12pt]&=e^{-θs}  τ_2 \left\{\frac{1}{τ_2 s(τ_2 s+τ_1)} \right\}\\[12pt]&=e^{-θs}  τ_2 ...

라플라스(Laplace), 적분과 데드타임(Integrator with dead time) 적분은 특정 구간에서 함수의 넓이를 구할 때 사용한다. 함수 f(t)에 \(e^{-st}\)를 곱해 0에서 t까지 적분하였을 때 적분 값이 존재하는 경우에 이것을 라플라스 적분 함수라고 하고, s에 관한 함수로 표현한다. 함수 f(x)를 시간 0에서 t까지 적분하는 함수는 다음과 같다. \[ \int_0^t f(x)  dx=u,  u'=f(t) \] \[ e^{-st}=v',v= -\frac{1}{s }e^{-st} \] \[ \int u v'=u v- \int u' v \] 라플라스 정의에 따라 변환하면 다음과 같다. \[ \begin{align} L\left[\int_0^t f(x)  dx\right]&=\int_0^∞\left[\int_0^t f(x)dx\right]  e^{-st} dt\\[12pt]&=\left[-\frac{1}{s} e^{-st}  \int_0^t f(x) dx\right]_0^\infty - \int_0^∞ \left[-\frac{1}{s} e^{-st} \right]f(t)dt\\[12pt]&=\frac{1}{s} \int_0^∞ f(t) e^{-st} dt=\frac{1}{s} F(s) \end{align} \] 적분과 데드타임 함수의 응답특성 \(\frac{1}{s}\)은 적분 함수로 나타내며, 지연 특성의 dead time과 시상수 형태의 적분 함수는 다음과 같다. \[ \frac{e^{-θs}}{τs} \] 위의 함수에서 θ는 dead time, τ는 시상수(Time constant)이다. Dead time θ와 시상수 τ를 가지는 \(\frac{e^{-θs}}{τs}\)는 다음과 같다. \[ \begin{align} L\left[\frac{1}{τ} u(t-θ)\right]&=\int_0^∞ e^{-st}  \frac{1}{τ} u(t-θ)d...

  라플라스(Laplace) & Z 변환(Z-transform) 변환표(Conversion table) 시간 함수로 표현 되는 연속 시스템 함수 f(t)의 라플라스로 변환된 함수 F(s)와 등가 디지털 신호인 이산 신호 f(kT) 그리고 Z 변환된 함수 F(z)의 관계에 따른 변환표이다. 라플라스(Laplace) 변환표(Conversion table) 시간 t가 0 이상일 때 1의 값을 가지는 함수 u(t)가 있을 때 이를 라플라스 함수로 변환하면  \(\frac{1}{s}\)가 된다. \[ u(t) = \begin{cases} 0 & \ (t<0) \\ 1 & \, \, (t \ge 0) \end{cases} \] 이처럼 계단 함수(Step function)는 라플라스 정의에 따라 \(\frac{1}{s}\) 가 된다. \[ \begin{align} L[u(t) &= \int_0^\infty u(t) e^{-st}dt = \int_0^\infty 1 \cdot e^{-st}dt \\[12pt] &= \left[\frac{e^{-st}}{-s} \right]_0^\infty = \frac{1}{s} \end{align} \] 계단 함수 u(t)는 시간에 따라 표현 되는 시간 함수이고 계단 함수를 라플라스 변환하면 \(\frac{1}{s}\)가 된다.  시간 함수를 f(t)로 라플라스 함수는 F(s)로 나타낸 테이블이다. No. \[f(t)\] \[F(s)\] 1 \[1(t)\] \[\frac{1}{s}\] 2 \[t^n, \ \ n>0\] \[\frac{n!}{s^{n+1}}\] 3 \[e^{-at}\] \[\frac{1}{s+a}\] 4 \[te^{-at}\] \[\frac{1}{(s+a)^2}\] 5 \[1-e^{-at}\] \[\frac{a}{s(s+a)}\] 6 \[sin\omega t\] \[\frac{\o...

  라플라스(Laplace), 시상수로 이루어진 2차 전달 함수 2개의 1차 함수가 직렬로 연결된 시스템이 각각 시상수(Time constant)를 가지고 있으면 시상수로 이루어진 2차 함수와 같다. \[ \frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)} \] 시상수로 이루어진 2차 전달 함수의 응답 특성 시상수로 이루어진 2차 전달 함수에 계단 함수(Step function) \(\frac{1}{s}\)이 입력일때 전달 함수는 다음과 같다. \[ F(s)=\frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}  \cdot \frac{1}{s}\] \[ =K_p e^{-θs} \cdot \frac{1}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2)} \] \[ =K_p e^{-θs} \cdot \frac{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2-τ_2 s-τ_1 s-τ_1 τ_2 s^2}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2)}  \] 위에서 우변 항을 정리하여 준다. \[ \frac{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2-τ_2 s-τ_1 s-τ_1 τ_2 s^2}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2 )} \] \[=\frac{1}{s}-\frac{τ_2+τ_1+τ_1 τ_2 s}{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2 } \] \[=\frac{1}{s}- \frac{\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2}+s}{s^2+\frac{1}{\tau_1\tau_2}(\tau1+\tau2)s+\frac{1}{\tau_1 \tau_2}  } \] 여기서 \( \frac{1}{τ_1 τ_2 } (τ_1 +τ_2 ) \)은 \(\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2 }\)이므로 \[ =\frac{1}{s}-\frac{s+\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2}}{(s+\frac{1}{τ_1} )(s+\...

라플라스(Laplace), Damping ratio  ζ와 고유진동수 ωn으로 이루어진 2차 전달 함수의 Over-Damped Damping ratio, ζ가 1보다 크면 과도하게 감쇠된 Over-damped의 형태로 나타난다. 역변환된 수식은 다음과 같다. \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)\left\{ 1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} +\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\}     \    where ζ>1 \end{align} \] 지난 글에 이어서 과도 감쇠(Over-damped)가 일어나는 경우의 특성을 살펴보기로 한다. Over-damped 응답 특성 Over-damped 일때 \[ K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1})ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1} )}+\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) } \right\} \] 위의 수식에서 지수함수 \( e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\)과 \(e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\)로부터 시상수 \(τ_1\)과 \(τ_2\)를 알 수 있으며, 역변환하기 전의 수식에서 구할 수 있다. \[ \begin{align} \frac{1}{s}&-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}  \cdot \frac{1}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n)}\\[12pt]&+\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \cdot \...

라플라스(Laplace), Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달 함수의 Under-damped Damping ratio, ζ에 따라 역변환된 수식을 정리해보면 다음과 같다. \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t) \ \ \ \ where \ ζ=0 \end{align} \] \[ \begin{align} f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}  sin⁡(ω_n \sqrt{1-ζ^2 } t+cos^{-1}ζ) \right\} \  \  where  \ 1>ζ>0 \end{align} \] \[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\}  \ \        where \ ζ=1 \] \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)\left\{ 1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} +\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\}     \    where ζ>1 \end{align} \] Damping ratio ζ와 고유 진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 입력으로서 계단 입력을 주었을 때의 응답 특성, Gain=1, θ=0, ω_n=2이며 ζ=0, 0.3, 1, 2의 값을 사용한 경우 다음과 같은 특성을 볼 수 있다. Undamped ωn=2, ζ=0   Under-damped ωn=2, ζ=0.3 Cirtically damped ωn=2, ζ=1   Over-damped ωn=2, ζ=2 각각의 Undampe...

라플라스(Laplace), 감쇠비(Damping ratio)에 따른 응답특성과 전달함수(Over-damped) 2차 함수의 시스템에서  damping ratio ζ에 따라 Underdamped, Undamped, Critically Damped, Over Damped 형태로 나타난다. underdamped: 0<ζ<1 undamped:  ζ=0 critically damped:  ζ=1 over-damped:  ζ>1 이번 글에서는  damping ratio ζ >1인 경우의 Over-damped 를 살펴보기로 한다.   Over-damped,  ζ>1 감쇠비가 1보다 큰 경우를 Over-damped라고 한다. damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 계단 함수 1/s을 입력으로 하고, over-damped:  ζ>1일때 함수이다. \[ \begin{align} F(s)&=\frac{1}{s}\frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\\[12pt]&= K_p e^{-θs} \frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2+ζ^2{ω_n}^2-ζ^2{ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs} \frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+ζ^2 {ω_n}^2-ζ^2 {ω_n}^2+{ω_n}^2}\\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{1}{s}\frac{{ω_n}^2}{(s+ζω_n)^2-{ω_n}^2 (ζ^2-1)} \end{align} \] 라플라스 연산자 s를 포함하는 우측의 수식은 인수 분해를 이용하여 아래와 같이 전개한다. \[ \be...