21. 라플라스(Laplace), 적분과 1차 함수 그리고 데드 타임(Integrator with first order and dead time)


라플라스(Laplace), 적분과 1차 함수 그리고 데드 타임(Integrator with first order and dead time)


Laplace 모델의 1차 함수를 살펴보자.


\[ laplace \ 1차 \ 함수\ =  \ \frac{1}{1+s} \]

라플라스 1차 함수에서 적분모델 \(\frac{1}{s}\)을 가지게 되는 전달함수는 아래와 같다.

\[ \frac{1}{s}\cdot \frac{1}{1+s} = \frac{1}{s+s^2} \]

적분 모델이 더해진 라플라스 1차함수에서 지연 특성을 가지는 dead time과 시상수를 추가하면 다음과 같다.

\[ \frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2} \]

여기서 θ는 dead time, τ1, τ2는 시상수(Time constant)이다.




적분과 데드타임으로 이루어진 1차 함수 특성


적분과 데드 타임 그리고 시상수로 이루어진 라플라스 1차 함수를 역변환하자.

\[ \begin{align} &\frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2 } \\[12pt]&→ L^{-1}→\\[12pt] &f(t-θ)\cdot \frac{1}{τ_1}  \left(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} t} \right) \end{align} \]

전달함수 F(s)의 역변환 과정은 다음과 같다.

\[ \begin{align} F(s)&=\frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2 }\\[12pt]&=e^{-θs}\frac{1}{τ_1 s+τ_2 s^2}\\[12pt]&=e^{-θs} \frac{1}{s}\frac{1}{τ_2 s+τ_1}\\[12pt]&=e^{-θs}  \frac{τ_2}{τ_2 s(τ_2 s+τ_1)}\\[12pt]&=e^{-θs}  τ_2 \left\{\frac{1}{τ_2 s(τ_2 s+τ_1)} \right\}\\[12pt]&=e^{-θs}  τ_2 \left\{\frac{1}{τ_2 s+τ_1-τ_2 s}  \left(\frac{1}{τ_2 s}-\frac{1}{τ_2 s+τ_1} \right) \right\}\\[12pt]&=e^{-θs}  τ_2 \left\{\frac{1}{τ_1}   \left(\frac{1}{τ_2 s}-\frac{1}{τ_2 s+τ_1}\right) \right\}\\[12pt]&=e^{-θs}\frac{1}{τ_1}  τ_2 \left(\frac{1}{τ_2 s}-\frac{1}{τ_2 s+τ_1} \right)\\[12pt]&=e^{-θs}  \frac{1}{τ_1}  \left(\frac{1}{s}-\frac{τ_2}{τ_2 s+τ_1}\right)\\[12pt]&=e^{-θs}   \frac{1}{τ_1} \left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{τ_1}{τ_2}}\right) \end{align} \]

라플라스 변환표를 참조하여, \(\frac{1}{s}\)은 1, \(\frac{1}{s+\frac{τ_1}{τ_2}}\)은 지수함수로 변환되고, 제시한 표준식의 역변환 함수는 다음과 같다.

\[ f(t)=f(t-θ)\frac{1}{τ_1} \left(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  t}\right) \]

특성은 아래와 같다.

Laplace, Responce graph, Integrator with first order, θ=0, τ1=1, τ2=1.5
Laplace, Responce graph, Integrator with first order, θ=0, τ1=1, τ2=1.5

이때의 θ=0, τ1=1, τ2=1.5이다.

응답특성의 출력은 시상수 \(τ_1\)에 의해 결정되며 \(\frac{1}{τ_1}\)에 수렴한다. 상승시간은 시상수 \(τ_1\)과 \(τ_2\)에 의해 결정되며, \(\frac{τ_2}{τ_1}\)  일 때 출력의 63.2%에 수렴한다.

아래 응답특성 그래프는 시상수 \(τ_1, \ τ_2\)가 변경 될 때 이다.
 
τ1=1, τ2=1.5, Integrator with first order
τ1=1, τ2=1.5, Integrator with first order

 
τ1=2, τ2=1, Integrator with first order
τ1=2, τ2=1, Integrator with first order


τ1=1, τ2=1.5인 경우와  τ1=2, τ2=1인 경우 출력은 각각 1과 0.5에 수렴하는 것을 알 수 있다.

\(\frac{τ_2}{τ_1}\)는 1.5이고 \(\frac{τ_2}{τ_1}\)는 0.5 이므로 0.5초일 때 최종 출력의 약 63.2%(0.632, 0.316)의 상승을 보인다.




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