1. 라플라스 변환과 Z 변환(Laplace transform and Z-transform)



라플라스 변환 (Laplace transform)


함수 f(t)에 \( e^{-st} \)를 곱해 t=0에서 t=∞까지 t에 대해 적분하였을 때, 적분값이 존재하는 경우에는 s에 관한 함수로 표현되며 s에 대한 새로운 함수를 함수 f(t)의 라플라스 변환(Laplace transform)이라고 한다.


이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.


\[ F(s)=L[f(t)]=\int_{0+}^\infty e^{-st} f(t)dt \]


수식에서 s는 복소변수로서 라플라스 연산자(Laplace operator)이며, 적분이 존재하는 범위의 값이다. 

함수 f(t)는 0보다 크며(t>0+으로 표현), 연속적이거나 유한개의 불연속점으로 이루어진 조각 또는 부분연속(piecewise continuous)이어야 한다. 

여기서 0+의 범위는 적분이 존재하기 위해 함수 f(t)는 0이 아니어야 하므로 0에 무한히 접근한다는 의미이다. 앞으로는 0으로 표현한다.


함수 f(t)는 시간함수이며 f(t)에 대한 라플라스 변환은 e^(-st)의 변수 s와 t에서 시간 t에 대한 적분으로서 s의 함수가 되므로 F(s)로 표현한다. 

단위는 시간의 역수가 되어 주파수 단위와 같아지므로 주파수 영역(frequency domain) 또는 함수 F(s)로 표기되는 s-영역(s-domain)이라고 부른다.


 t가 0이상일 때 1의 값을 가지는 함수 u(t)가 있을 때 이를 라플라스 함수로 변환해보면 다음과 같다.


\[ u(t) = \begin{cases} 0 & \ (t<0) \\ 1 & \, \, (t \ge 0) \end{cases} \]


계단함수(Step function) 정의



Step function graph
Step function


특정 시점 이후에 일정한 값을 유지하는 함수를 계단함수라 한다. 계단함수 u(t)를 라플라스 정의에 따르면 다음과  같다.


\[ \begin{align} L[u(t) &= \int_0^\infty u(t) e^{-st}dt = \int_0^\infty 1 \cdot e^{-st}dt \\[12pt] &= \left[\frac{e^{-st}}{-s} \right]_0^\infty = \frac{1}{s} \end{align} \]


즉, 함수 u(t)를 라플라스 함수로 나타내면 1/s이다. 이와 같이 시간 함수를 라플라스 함수로 변환할 수 있다.




Z-변환 (Z-transform)


연속적인 시간 신호를 일정 주기로 표본화(Sampling)하여 얻어진 신호를 이산 시간 신호라 한다.



Discrete time signal
Discrete time signal


여기에서 표본화는


\[ f(t) = \sum_{k=0}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) \]


으로 나타낼 수 있으며, δ(t)는


\[ \begin{cases} \delta(t)=1, & \text{for} \, \, t=0 \\ \delta(t)=0, & \text{for} \, \, t \neq 0 \end{cases} \]


로 정의할수 있다. f는 연속신호를 일정 주기(T)로 표본화하여 얻어진 신호이다.


{f(0), f(T), f(2T), ···, f(kT)}


이와 같이 샘플링을 통해 얻은 수열을 이산 신호(Discrete signal)라하며, k번째 표본화 신호를 f(kT) 또는 f(k)라고 한다. 


연속 시간함수 f(t)나 수열 f(kT)의 Z 변환은 다음과 같이 표현된다.


\[ \begin{gather} F(z) = Z[f(t)] = Z[f(kT)] = \sum_{k=0}^{\infty} f(kT) z^{-k} \\[12pt] = f(0) + f(T) z^{-1} + f(2T) z^{-2} + \\[12pt] \cdots + f(kT) z^{-k} + \cdots \end{gather} \]



계단함수를 라플라스 함수에서 Z-변환해보면 다음과 같다.


계단함수의 정의는 다음과 같고


\[ u(t) = \begin{cases} 0 & \ (t<0) \\ 1 & \, \, (t \ge 0) \end{cases} \]



Z-변환의 정의에 따라


\[ F(z) = Z[f(k)] = \sum_{k=0}^{\infty} z^{-k} = 1 + z^{-1} + z^{-2} + \cdots \]


으로 표현된다. 여기서 수열 \( \sum_{k=0}^{\infty} z^{-k} \) 은


\[ \sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} = a + ar + ar^{n-1} + \cdots = \frac{a}{1-r} \]


와 같은 등비수열 형태로 나타난다. 따라서 계단함수의 Z-변환은 다음과 같다.


\[ \begin{align} F[z] = Z[f(k)] = \sum_{k=0}^{\infty} z^{-k} &= 1 + z^{-1} + z^{-2} + \cdots \\[12pt] &= \frac{1}{1-z^{-1}} \end{align} \]


즉, 함수 f(k)를 Z-변환하면 \( \frac{1}{1-z^{-1}} \)이다. 이처럼 이산신호는 Z-변환된 함수로 나타낼수 있다.





Laplace 변환과 Z-변환


라플라스 함수는 아날로그 시스템 즉, 연속적으로 동작하는 시스템(continuous system)의 정보를 시간에 따라 처리하는 함수이다. 디지털 시스템은 시간에 따라 연속적으로 처리할 수 없으며 일정 시간 간격마다 데이터를 취득하고 신호를 처리하게 된다. 이렇게 데이터를 취득하는 것을 표본화(sampling)라고 한다. 표본화는 표본 주기 T와 같이 주기적인 함수의 곱으로 나타낸다.


\[ \sum_{k=0}^{\infty} \delta(t-kT) \]


연속 함수 f(t)를 표본 주기 T로 표본화하면 다음과 같이 표현할 수 있다.



\[ f(t) = \sum_{k=0}^{\infty} f(t) \delta(t - kT) = \sum_{k=0}^{\infty} f(kT) \delta(t-kT) \]


여기서 F(z)는 Z-변환 함수, 

Z{f(t)}에서 f(t)는 연속(시간) 함수, 

Z{ }는 f(t)가 Z-변환 되었음을 뜻하며, 

f(t)의 라플라스 함수는 F(s)로 표현하며, 

F(s)의 Z-변환은 Z{F(s)}로 표현한다.



\[ F(z) = Z\{f(t)\} = Z\{F(s)\} \]


함수 f(t)로부터 전달 함수 G(s)와 G(z)로 변환 하였다는 것은 전달 함수의 특성이 동일 한다는 것이다.



\[ F(z) = Z\{F(s)\} = Z\{f(t)\} \]



Transfer function for identical input
Transfer function for identical input


일반적으로 두 시스템의 전달 함수 특성이 동일하고, 입력이 같으면, 출력도 동일한 응답특성을 나타낸다. 하지만, 두 시스템 F(s)와 F(z)의 전달 함수 특성이 동일하고, 입력이 같아도 출력이 같지는 않다. 이것은 표본화에 따른 오차가 있다는 것이다. 또한 표본화된 신호를 시간에 대해 연속적인 형태가 되도록 하는 것을 표본 유지(sample hold)라 한다. 


아래와 같이, 입력 신호 r(t)를 표본 유지화할 때 발생하는 오차는 표본 주기 T를 작게 할수록 작아진다.


\[ r_{SH}(t) = \sum_{k=0}^{\infty} f(kT) \delta(t-kT) \]



Sample Hold
Sample Hold


표본 유지에 의한 신호는 계단파 형태가 연속적으로 이루어진 형태로 표현된다. 이를 계단 함수 u(t)로 나타낼 수 있다.



\[ r_{SH}(t) = u(t) - u(t-T) \]



계단 함수의 정의에 따라


\[ u(t) = \begin{cases} 0 & \ (t<0) \\ 1 & \, \, (t \ge 0) \end{cases} \]


u(t)는



\[ \begin{align} L[u(t)] &= \int_0^\infty u(t) e^{-st} dt = \int_0^\infty 1 \cdot e^{-st}dt \\[12pt] &= \left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_0^\infty = \frac{1}{s} \end{align} \]


이며, u(t-T)는


\[ \begin{align} L[u(t-T) &= \int_0^\infty u(t-T)e^{-st} dt \\[12pt] &= \int_0^T 0\cdot e^{-st} dt + \int_T^\infty 1\cdot e^{-st} dt \\[12pt] &= \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_T^\infty = 0 - \left(-\frac{1}{s} e^{-sT} \right) \\[12pt] &=\frac{1}{s} e^{-sT} = \frac{e^{-sT}}{s} \end{align} \]



즉, u(t)의 라플라스 표현은 1/s이며, u(t-T)는 \( \frac{e^{-sT}}{s} \)이므로 표본 유지 전달 함수를 \( F_{SH}\)라고 하면 전달함수 \( F_{SH}\)는 다음과 같다.



\[ F_{SH} (s) = \frac{1-e^{-sT}}{s} \]


표본화된 시스템 즉, 디지털 시스템과 연속적인 시스템이 결합된 경우 전체 전달함수는 다음과 같이 변환된다. 


\[ \begin{align} &Z\{F1(z)F2(s)\} \\[12pt] &= F1(z)Z\{F2(s)\} \\[12pt] &=F1(z)F2(z) \end{align} \]


여기서 F1과 F2는 각 시스템의 전달함수이고, 

z는 표본화 (Z 변환) 함수, 

s는 라플라스 함수이며, 

Z{ }는 전달함수 F1, F2가 Z 변환된 형태임을 뜻한다.


디지털 시스템에서 표본화와 연속 시스템이 복합되어 있는 경우, 위의 \( F_{SH} (s) \)를 사용하면 전달함수 \( F_{SH} F(z) \)는


\[ \begin{align} F_{SH} F(z) &= Z \left\{ \frac{1-e^{-sT}}{s} F(s) \right \} \\[12pt] &= Z \left \{ (1-e^{-sT}) \frac{F(s)}{s} \right \} \end{align} \]


이며, 여기서\( z=e^{-sT} \)으로 나타내며, 전달함수는 다음과 같다.



\[ \begin{align} F_{SH}F(z) &= Z \left \{ (1-z^{-1} \frac{F(s)}{s} \right \} \\[12pt] &= (1-z^{-1}) Z \left \{ \frac {F(s)}{s}) \right \} \end{align} \]














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