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Z 변환(Z-transform), 적분과 1차 함수 그리고 데드 타임(Integrator with first order and dead time) Integrator with first order and dead time,  Laplace 모델의  Z 변환은 역변환된 시간함수로 구한다. \[ f(t)=f(t-θ)\frac{1}{τ_1} \left(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  t}\right) \] 적분과 데드타임으로 이루어진 1차 함수의 Z 변환과 특성 위의 역변환된 시간함수를 라플라스 & Z 변환표를 참조하여 변환한다. \[ δ(n-k)  → Z→ Z^{-k} \] \[ 1(k)  → Z→  \frac{1}{1-z^{-1} } \] \[ e^{-akT}  → Z→  \frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1}}  \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(\frac{τ_1}{τ_2}\) T이다. \[ \begin{align} F(z)&= z^{-θ} \frac{1}{τ_1}  \left(\frac{1}{1-z^{-1}}-\frac{1}{1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}  z^{-1}}\right)\\[12pt]&= z^{-θ}  \frac{1}{τ_1} \left\{\frac{(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}  z^{-1} )-(1-z^{-1} )}{(1-z^{-1} )(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  T}  z^{-1} } \right\}\\[12pt]&= z^{-θ} \frac{1}{τ_1}  \left\{\frac{(-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}+1) z^{-1}}{1+(-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  T}+1) z^{-1}+e^{-...

Z 변환(Z-transform), Undamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ=0 Damping ratio ζ와 고유진동수 \(ω_n\)으로 이루어진 laplace 2차 함수의 Z 변환은 역변환된 시간 함수로부터 구한다. \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t ) \  \ where \ ζ=0 \end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{ 1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}sin⁡\left(ω_n \sqrt{1-ζ^2} t+cos^{-1}ζ\right) \right\} \ where  \ 1>ζ>0 \end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\} \ where \ ζ=1\end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}+\frac{e^{-(ζ+\sq...

2차 전달 함수에서 시상수로 이루어진 경우를 살펴보자. 시상수로 이루어진 2차 함수의 Z 변환은 Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달함수의 관계에 2차 함수를 대입하여 구할 수 있다. \[ \begin{align} F(z)&=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\}=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{\frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{ \frac{K_pe^{-θs}}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{K_pe^{-θs}\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \] 여기서 \(e^{-θs}\)는 \(z^{-k}\)와 같으므로 \( z^{-θ}\)이고, \(K_p\)는 상수이다. \[=K_p z^{-θ}(1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \] \(\frac{1}{s}\)은 라플라스 & Z-변환표를 참조하여 정리한다. \[ \begin{align} &=K_p z^{-θ}(1-z^{-1})\left( \frac{1}{1-z^{-1}}\right)Z\left\{\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ}Z\left\{\frac{1}{τ_1 τ_2 s^2+τ_1 s+τ_2 s+1}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ} Z\left\{\frac{\frac{1}{τ_1 τ_2 }}{s^2+\frac{τ_1 s}{τ_1 τ_2}+\frac{τ_2 s}{τ_1 τ_2 }...

2차 전달 함수에서 Damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 경우를 살펴보자. Damping ratio( ζ )와 고유진동수( ω_n )로 이루어진 laplace 2차함수의 Z 변환은 역변환 시간함수로 구한다. \[ \begin{align} L[F(s)] &=  \frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 }\\[12pt] &=K_p\cdot f(t-θ)\cdot \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}\cdot e^{-ζω_n t} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} t \end{align} \] 라플라스 & Z 변환표를 참조하면 \[ δ(n-k)  → Z→ Z^{-k} \] \[ e^{-akT} sin⁡ω kT → Z→  \frac{e^{-aT} z^{-1}  sin⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT} z^{-2}} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(ζ ω_n\)이며, cos⁡ω T 의 ω는 \(ω_n \sqrt{1-ζ^2}\) 이다. \[ \begin{align} F(z)&=K_p\cdot z^{-θ}\cdot \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}\\[12pt] &\cdot \frac{e^{-ζ ω_n T}z^{-1}  sin⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2 } T}{1-2e^{-ζ ω_n T} z^{-1}  cos⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2} T+e^{-2ζ ω_n T}z^{-2}}\\[12pt] &=\frac{K_p  \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}e^{-ζ ω_n T} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} T z^{-θ-1}}{1-2e^{-ζ ω_n T}  cos⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2} T z^{-1}+e^{-2ζ ω_n T...

이득을 가진 데드 타임 1차 함수( First order with dead time and gain)의  Z 변환 앞에서 서술한   이득을 가진 데드 타임 1차 함수( First order with dead time and gain)의 라 플라스 변환을 Z 변환을 통한 차분 방정식(Difference Equation)을 활용하여 디지털 시스템에 적용해 보자. Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달 함수의 관계에서 이득을 가진 데드 타임 1차 함수를 대입하면 다음과 같다. \[ \begin{align} F(z) &=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac {\frac{K_p e^{-θs}}{1+τs}}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{K_p e^{-θs}}{s(1+τs)}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{K_p e^{-θs}\frac{1}{τs+1}\frac{1}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{K_p e^{-θs} \frac{1}{τ}\frac{1}{s+\frac{1}{τ}}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \] 여기서 \( e^{-θs} \)는 \(z^{-k} \)와 같으므로 \( z^{-θ}\)이고, \( K_p\)와 \(\frac{1}{τ}\)은 상수이므로   \[ =K_p  \frac{1}{τ} z^{-θ} (1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{s+\frac{1}{τ}}  \frac{1}{s}\right\} \] 로 나타낼 수 있고, \( \frac{1}{s}\)의 역변환은 \(u(t)\)...