mathema

Z 변환(Z-transform), 적분과 1차 함수 그리고 데드 타임(Integrator with first order and dead time) Integrator with first order and dead time,  Laplace 모델의  Z 변환은 역변환된 시간함수로 구한다. \[ f(t)=f(t-θ)\frac{1}{τ_1} \left(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  t}\right) \] 적분과 데드타임으로 이루어진 1차 함수의 Z 변환과 특성 위의 역변환된 시간함수를 라플라스 & Z 변환표를 참조하여 변환한다. \[ δ(n-k)  → Z→ Z^{-k} \] \[ 1(k)  → Z→  \frac{1}{1-z^{-1} } \] \[ e^{-akT}  → Z→  \frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1}}  \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(\frac{τ_1}{τ_2}\) T이다. \[ \begin{align} F(z)&= z^{-θ} \frac{1}{τ_1}  \left(\frac{1}{1-z^{-1}}-\frac{1}{1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}  z^{-1}}\right)\\[12pt]&= z^{-θ}  \frac{1}{τ_1} \left\{\frac{(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}  z^{-1} )-(1-z^{-1} )}{(1-z^{-1} )(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  T}  z^{-1} } \right\}\\[12pt]&= z^{-θ} \frac{1}{τ_1}  \left\{\frac{(-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}+1) z^{-1}}{1+(-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  T}+1) z^{-1}+e^{-...

라플라스(Laplace), 적분과 1차 함수 그리고 데드 타임(Integrator with first order and dead time) Laplace 모델의 1차 함수를 살펴보자. \[ laplace \ 1차 \ 함수\ =  \ \frac{1}{1+s} \] 라플라스 1차 함수에서 적분모델 \(\frac{1}{s}\)을 가지게 되는 전달함수는 아래와 같다. \[ \frac{1}{s}\cdot \frac{1}{1+s} = \frac{1}{s+s^2} \] 적분 모델이 더해진 라플라스 1차함수에서 지연 특성을 가지는 dead time과 시상수를 추가하면 다음과 같다. \[ \frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2} \] 여기서 θ는 dead time, τ1, τ2는 시상수(Time constant)이다. 적분과 데드타임으로 이루어진 1차 함수 특성 적분과 데드 타임 그리고 시상수로 이루어진 라플라스 1차 함수를 역변환하자. \[ \begin{align} &\frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2 } \\[12pt]&→ L^{-1}→\\[12pt] &f(t-θ)\cdot \frac{1}{τ_1}  \left(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} t} \right) \end{align} \] 전달함수 F(s)의 역변환 과정은 다음과 같다. \[ \begin{align} F(s)&=\frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2 }\\[12pt]&=e^{-θs}\frac{1}{τ_1 s+τ_2 s^2}\\[12pt]&=e^{-θs} \frac{1}{s}\frac{1}{τ_2 s+τ_1}\\[12pt]&=e^{-θs}  \frac{τ_2}{τ_2 s(τ_2 s+τ_1)}\\[12pt]&=e^{-θs}  τ_2 \left\{\frac{1}{τ_2 s(τ_2 s+τ_1)} \right\}\\[12pt]&=e^{-θs}  τ_2 ...

Z 변환(Z-transform), 적분과 데드타임(Integrator with dead time) 계단 함수(Step function)의 정의를 살펴보자. \[ f(t)=\begin{cases} 1 & (t≥0) \\ 0 & (t<0) \end{cases} \] 계단함수의 Z 변환은 아래와 같이 표현된다. \[ \begin{align} F(z)&=Z[f(k)]=\sum_{k=0}^∞ z^{-k}\\[12pt]&=1+z^{-1}+z^{-2}+⋯\\[12pt]&=  \frac{1}{1-z^{-1} } \end{align} \] 계단함수의 Z변환은 아래와 같다. \[ Z[f(t-nT)]=z^{-n} F(z)\] 적분과 데드타임으로 이루어진 Z 변환 함수의 특성 계단 함수 x(kT)를 1T만큼 지연 시킨 함수 x(k-T)는 아래와 같다. \[ x(k-T)=\begin{cases}1   & (k≥T) \\ 0   & (k<T) \end{cases} \] 이것을 Z 변환으로 표현하면 다음과 같다. \[ Z[x(kT-T)]=z^{-1} Z[x(kT)]= \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \] 시간 지연을 가지는 함수로 표현하자. \[ \begin{align} L\left(\frac{e^{-θs}}{τS}\right)&=e^{-θs}\cdot \frac{1}{τ}\cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=\frac{1}{τ}\cdot Z[f(kT-θT)\cdot 1(k)]\\[12pt]&=Kp\cdot z^{-θ} Z[1(k)]= \frac{ \frac{1}{τ}\cdot z^{-θ}}{1-z^{-1} } \end{align} \] 차분 방정식 형태로 나타내자. \[ F(z)=\frac{Output(zero-state response)}{Input}=\frac{Y(z)}{X(z)}\] \[ (Input)Y(z)=(Output)...

라플라스(Laplace), 적분과 데드타임(Integrator with dead time) 적분은 특정 구간에서 함수의 넓이를 구할 때 사용한다. 함수 f(t)에 \(e^{-st}\)를 곱해 0에서 t까지 적분하였을 때 적분 값이 존재하는 경우에 이것을 라플라스 적분 함수라고 하고, s에 관한 함수로 표현한다. 함수 f(x)를 시간 0에서 t까지 적분하는 함수는 다음과 같다. \[ \int_0^t f(x)  dx=u,  u'=f(t) \] \[ e^{-st}=v',v= -\frac{1}{s }e^{-st} \] \[ \int u v'=u v- \int u' v \] 라플라스 정의에 따라 변환하면 다음과 같다. \[ \begin{align} L\left[\int_0^t f(x)  dx\right]&=\int_0^∞\left[\int_0^t f(x)dx\right]  e^{-st} dt\\[12pt]&=\left[-\frac{1}{s} e^{-st}  \int_0^t f(x) dx\right]_0^\infty - \int_0^∞ \left[-\frac{1}{s} e^{-st} \right]f(t)dt\\[12pt]&=\frac{1}{s} \int_0^∞ f(t) e^{-st} dt=\frac{1}{s} F(s) \end{align} \] 적분과 데드타임 함수의 응답특성 \(\frac{1}{s}\)은 적분 함수로 나타내며, 지연 특성의 dead time과 시상수 형태의 적분 함수는 다음과 같다. \[ \frac{e^{-θs}}{τs} \] 위의 함수에서 θ는 dead time, τ는 시상수(Time constant)이다. Dead time θ와 시상수 τ를 가지는 \(\frac{e^{-θs}}{τs}\)는 다음과 같다. \[ \begin{align} L\left[\frac{1}{τ} u(t-θ)\right]&=\int_0^∞ e^{-st}  \frac{1}{τ} u(t-θ)d...

Z 변환(Z-transform), 시상수로 이루어진 2차 전달 함수 각각의 시상수를 가진 2차 시스템의 Z 변환은 Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달함수의 관계식에 대입하여 구한다. \[ \begin{align} F(z)&=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1} )Z\left\{\frac{ \frac{K_p e^{-θs}}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{Kpe^{-θs}}{s^2 (1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{Kpe^{-θs}  \frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \] 시상수로 이루어진 2차 전달 함수의 응답 특성 위의 수식에서 \(e^{-θs}\)는 \(z^{-k}\)와 같으므로 \(z^{-θ}\)이고, Kp는 상수이다.  \[=Kp z^{-θ}(1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}  \frac{1}{s} \right\} \] \(\frac{1}{s}\)은 라플라스와 Z 변환표를 참조하여 정리한다. \[ \begin{align} =Kp z^{-θ} (1-z^{-1} )\left( \frac{1}{1-z^{-1} }\right)Z\left\{\frac{1}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)} \right\} \end{align}\] \[ =Kp z^{-θ} Z\left\{\frac{1}{s}+\left(\frac{τ_1}{τ_2-τ_1}\right) \cdot \left(\frac{1}{s+\frac{1}{τ_1}}\right)-\left(\frac...

Z 변환(Z-transform), Overdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ>1 역변환된 시간함수로 구한다. 역변환된 함수는 다음과 같다. \[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1}(ζ-\sqrt{ζ^2-1})}+\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) }  \right\} \] \[ \begin{align} =K_p\cdot f(t-θ)& \left\{1-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1}) }e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\right.\\[12pt]&\left.+  \frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1} ) }e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t} \right\} \end{align} \] ζ>1, Overdamped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 참조하자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ 1 → Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \] \[ e^{-akT}  → Z→  \frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1} } \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 각각 \((ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n \), \((ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left(\frac{1}{1-z^{-1}}-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} \frac{1}{1-e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n T} z^{-1} ...

Z 변환(Z-transform), Critically damped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ=1 역변환된 시간함수로 구한다. \[ \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 }  \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\}\\[12pt]&=K_p\cdot f(t-θ)\cdot (1-e^{-ω_n t}-e^{-ω_n t} ω_n t) \end{align} \] ζ=1, Critically damped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 살펴보자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ kTe^{-akT} → Z→ \frac{ Te^{-aT} z^{-1}}{(1-e^{-aT} z^{-1})^2} \] \[ 1-e^{-akT} → Z→  \frac{(1-e^{-aT})z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-e^{-aT} z^{-1})} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(kTe^{-akT}\)의 k는 \(ω_n\)이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(ω_n\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p \cdot z^{-θ} \cdot &\left\{\frac{(1-e^{-ω_n T} ) z^{-1}}{(1-z^{-1} )(1-e^{-ω_n T} z^{-1}) } \right. \\[12pt] & \left.-ω_n  \frac{Te^{-ω_n T} z^{-1}}{(1-e^{-ω_n T} z^{-1} )^2} \right\} \end{align} \] \(e^{-ω_n T}\)를 e로 대치하고 전개한다. \[ \begin{align} K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left\{\frac{z^{-...