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Z 변환(Z-transform), Critically damped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ=1 역변환된 시간함수로 구한다. \[ \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 }  \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\}\\[12pt]&=K_p\cdot f(t-θ)\cdot (1-e^{-ω_n t}-e^{-ω_n t} ω_n t) \end{align} \] ζ=1, Critically damped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 살펴보자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ kTe^{-akT} → Z→ \frac{ Te^{-aT} z^{-1}}{(1-e^{-aT} z^{-1})^2} \] \[ 1-e^{-akT} → Z→  \frac{(1-e^{-aT})z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-e^{-aT} z^{-1})} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(kTe^{-akT}\)의 k는 \(ω_n\)이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(ω_n\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p \cdot z^{-θ} \cdot &\left\{\frac{(1-e^{-ω_n T} ) z^{-1}}{(1-z^{-1} )(1-e^{-ω_n T} z^{-1}) } \right. \\[12pt] & \left.-ω_n  \frac{Te^{-ω_n T} z^{-1}}{(1-e^{-ω_n T} z^{-1} )^2} \right\} \end{align} \] \(e^{-ω_n T}\)를 e로 대치하고 전개한다. \[ \begin{align} K_p\cdot z^{-θ}\cdot &\left\{\frac{z^{-...

Z 변환(Z-transform), Underdamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  1>ζ>0 역변환된 시간함수로 구한다. 역변된 함수는 아래와 같다. \[ K_p e^{-θs} \left\{\frac{1}{s}-\frac{s+ζω_n}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2 }-\frac{ζω_n}{ω_d}   \frac{ω_d}{(s+ζω_n)^2+{ω_d}^2}\right\} \] \[→ L^{-1}→\] \[ K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-e^{-ζω_n t} cos⁡ω_d  t-\frac{ζω_n}{ω_d} e^{-ζω_n t} sin⁡ω_d t \right\} \] 1>ζ>0, Underdamped인 경우 라플라스와 Z 변환표를 참조하자. \[ δ(n-k)  → Z→ z^{-k} \] \[ 1 → Z→  \frac{1}{1-z^{-1}} \] \[ \begin{align} e^{-akT}  &cos⁡ω kT \ → Z→ \\[12pt] &\frac{1-e^{-aT} z^{-1}  cos⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT}z^{-2}} \end{align} \] \[ \begin{align} e^{-akT}  &sin⁡ω kT \ → Z→  \\[12pt] &\frac{1-e^{-aT} z^{-1} sin⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT} z^{-2}} \end{align} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}  cos⁡ω kT\)와 \(e^{-akT}  sin⁡ω kT \)의 a는 \(ζω_n\)이고, ω는 \(ω_d\)이다. \[ \begin{align} F(z)=K_p \cdot z^{-θ} &\c...

Z 변환(Z-transform), Undamped, Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달함수,  ζ=0 Damping ratio ζ와 고유진동수 \(ω_n\)으로 이루어진 laplace 2차 함수의 Z 변환은 역변환된 시간 함수로부터 구한다. \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t ) \  \ where \ ζ=0 \end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 )} \cdot \frac{ 1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}sin⁡\left(ω_n \sqrt{1-ζ^2} t+cos^{-1}ζ\right) \right\} \ where  \ 1>ζ>0 \end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2} \cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\} \ where \ ζ=1\end{align} \) \( \begin{align} L[F(s)]&=\frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2}\cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}+\frac{e^{-(ζ+\sq...

  라플라스(Laplace) & Z 변환(Z-transform) 변환표(Conversion table) 시간 함수로 표현 되는 연속 시스템 함수 f(t)의 라플라스로 변환된 함수 F(s)와 등가 디지털 신호인 이산 신호 f(kT) 그리고 Z 변환된 함수 F(z)의 관계에 따른 변환표이다. 라플라스(Laplace) 변환표(Conversion table) 시간 t가 0 이상일 때 1의 값을 가지는 함수 u(t)가 있을 때 이를 라플라스 함수로 변환하면  \(\frac{1}{s}\)가 된다. \[ u(t) = \begin{cases} 0 & \ (t<0) \\ 1 & \, \, (t \ge 0) \end{cases} \] 이처럼 계단 함수(Step function)는 라플라스 정의에 따라 \(\frac{1}{s}\) 가 된다. \[ \begin{align} L[u(t) &= \int_0^\infty u(t) e^{-st}dt = \int_0^\infty 1 \cdot e^{-st}dt \\[12pt] &= \left[\frac{e^{-st}}{-s} \right]_0^\infty = \frac{1}{s} \end{align} \] 계단 함수 u(t)는 시간에 따라 표현 되는 시간 함수이고 계단 함수를 라플라스 변환하면 \(\frac{1}{s}\)가 된다.  시간 함수를 f(t)로 라플라스 함수는 F(s)로 나타낸 테이블이다. No. \[f(t)\] \[F(s)\] 1 \[1(t)\] \[\frac{1}{s}\] 2 \[t^n, \ \ n>0\] \[\frac{n!}{s^{n+1}}\] 3 \[e^{-at}\] \[\frac{1}{s+a}\] 4 \[te^{-at}\] \[\frac{1}{(s+a)^2}\] 5 \[1-e^{-at}\] \[\frac{a}{s(s+a)}\] 6 \[sin\omega t\] \[\frac{\o...

  라플라스(Laplace), 시상수로 이루어진 2차 전달 함수 2개의 1차 함수가 직렬로 연결된 시스템이 각각 시상수(Time constant)를 가지고 있으면 시상수로 이루어진 2차 함수와 같다. \[ \frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)} \] 시상수로 이루어진 2차 전달 함수의 응답 특성 시상수로 이루어진 2차 전달 함수에 계단 함수(Step function) \(\frac{1}{s}\)이 입력일때 전달 함수는 다음과 같다. \[ F(s)=\frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}  \cdot \frac{1}{s}\] \[ =K_p e^{-θs} \cdot \frac{1}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2)} \] \[ =K_p e^{-θs} \cdot \frac{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2-τ_2 s-τ_1 s-τ_1 τ_2 s^2}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2)}  \] 위에서 우변 항을 정리하여 준다. \[ \frac{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2-τ_2 s-τ_1 s-τ_1 τ_2 s^2}{s(1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2 )} \] \[=\frac{1}{s}-\frac{τ_2+τ_1+τ_1 τ_2 s}{1+τ_2 s+τ_1 s+τ_1 τ_2 s^2 } \] \[=\frac{1}{s}- \frac{\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2}+s}{s^2+\frac{1}{\tau_1\tau_2}(\tau1+\tau2)s+\frac{1}{\tau_1 \tau_2}  } \] 여기서 \( \frac{1}{τ_1 τ_2 } (τ_1 +τ_2 ) \)은 \(\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2 }\)이므로 \[ =\frac{1}{s}-\frac{s+\frac{1}{τ_1} +\frac{1}{τ_2}}{(s+\frac{1}{τ_1} )(s+\...

라플라스(Laplace), Damping ratio  ζ와 고유진동수 ωn으로 이루어진 2차 전달 함수의 Over-Damped Damping ratio, ζ가 1보다 크면 과도하게 감쇠된 Over-damped의 형태로 나타난다. 역변환된 수식은 다음과 같다. \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)\left\{ 1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} +\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\}     \    where ζ>1 \end{align} \] 지난 글에 이어서 과도 감쇠(Over-damped)가 일어나는 경우의 특성을 살펴보기로 한다. Over-damped 응답 특성 Over-damped 일때 \[ K_p \cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1})ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ-\sqrt{ζ^2-1} )}+\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1}) } \right\} \] 위의 수식에서 지수함수 \( e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\)과 \(e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}\)로부터 시상수 \(τ_1\)과 \(τ_2\)를 알 수 있으며, 역변환하기 전의 수식에서 구할 수 있다. \[ \begin{align} \frac{1}{s}&-\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})}  \cdot \frac{1}{s+(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n)}\\[12pt]&+\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}  (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \cdot \...

라플라스(Laplace), Damping ratio와 고유진동수로 이루어진 2차 전달 함수의 Under-damped Damping ratio, ζ에 따라 역변환된 수식을 정리해보면 다음과 같다. \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)(1-cos⁡ω_n t) \ \ \ \ where \ ζ=0 \end{align} \] \[ \begin{align} f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\left\{1-\frac{e^{-ζω_n t}}{\sqrt{1-ζ^2}}  sin⁡(ω_n \sqrt{1-ζ^2 } t+cos^{-1}ζ) \right\} \  \  where  \ 1>ζ>0 \end{align} \] \[ f(t)=K_p\cdot f(t-θ)\{1-e^{-ω_n t} (ω_n t+1)\}  \ \        where \ ζ=1 \] \[ \begin{align} f(t)=K_p \cdot f(t-θ)\left\{ 1-\frac{e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ-\sqrt{ζ^2-1})} +\frac{e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1}) ω_n t}}{2\sqrt{ζ^2-1} (ζ+\sqrt{ζ^2-1})} \right\}     \    where ζ>1 \end{align} \] Damping ratio ζ와 고유 진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 입력으로서 계단 입력을 주었을 때의 응답 특성, Gain=1, θ=0, ω_n=2이며 ζ=0, 0.3, 1, 2의 값을 사용한 경우 다음과 같은 특성을 볼 수 있다. Undamped ωn=2, ζ=0   Under-damped ωn=2, ζ=0.3 Cirtically damped ωn=2, ζ=1   Over-damped ωn=2, ζ=2 각각의 Undampe...