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라플라스(Laplace) 감쇠비(Damping ratio)에 따른 응답특성과 전달함수 2차 함수로 표현되는 시스템에서  damping ratio ζ>1 인 경우는 과도하게 감쇠되어 Over-damped가 발생한다. 반대로 damping ratio ζ<1 인 경우는 감쇠가 부족하여 Under-damped가 발생한다. Over-damped는 목표값에 수렴 하지만 시간이 길어지는 특성이 나타나고, Under-damped는 수렴 범위를 초과(over-shout)하는 응답 특성이 나타난다.  Over-damped(ωn=1, ζ=2) Under-damped(ωn=1, ζ=0.6) underdamped: 0<ζ<1 undamped:  ζ=0 critically damped:  ζ=1 over-damped:  ζ>1 여기에서 Underdamped, Undamped, Critically damped를 살펴보고, Over-damped의 전달 함수는 다음 글에서 계속 살펴보기로 한다. 고유 진동수 ω_n, damping ratio ζ, gain Kp 그리고 dead time \(e^{-θ}\)으로 표현되는 2차 함수는 아래처럼 표현된다. \[ F(s)=  \frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2} \] 계단 함수 1/s을 입력으로 하고, ζ에 따른 응답 특성을 확인 하기 위한 역변환된 전달 함수를 도출하기로 한다. Underdamped,  0<ζ<1 감쇠비가 0과 1사이에 있는 경우를 Underdamped라고 한다. damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 2차 전달 함수에 계단 함수 1/s을 입력으로 하고, underdamped: 0<ζ<1일때 전달 함수는 다음과 같다. \[ \begin{align} F(s)&= \frac{1}{s}   \frac{K_p e^{-θs} {ω_n...

2차 전달 함수에서 시상수로 이루어진 경우를 살펴보자. 시상수로 이루어진 2차 함수의 Z 변환은 Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달함수의 관계에 2차 함수를 대입하여 구할 수 있다. \[ \begin{align} F(z)&=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\}=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\}\\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{\frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}}{s}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{ \frac{K_pe^{-θs}}{s(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt]&=(1-z^{-1})Z\left\{K_pe^{-θs}\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \] 여기서 \(e^{-θs}\)는 \(z^{-k}\)와 같으므로 \( z^{-θ}\)이고, \(K_p\)는 상수이다. \[=K_p z^{-θ}(1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\frac{1}{s}\right\} \] \(\frac{1}{s}\)은 라플라스 & Z-변환표를 참조하여 정리한다. \[ \begin{align} &=K_p z^{-θ}(1-z^{-1})\left( \frac{1}{1-z^{-1}}\right)Z\left\{\frac{1}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ}Z\left\{\frac{1}{τ_1 τ_2 s^2+τ_1 s+τ_2 s+1}\right\}\\[12pt] &=K_p z^{-θ} Z\left\{\frac{\frac{1}{τ_1 τ_2 }}{s^2+\frac{τ_1 s}{τ_1 τ_2}+\frac{τ_2 s}{τ_1 τ_2 }...

2차 전달 함수에서 Damping ratio ζ와 고유진동수 ω_n로 이루어진 경우를 살펴보자. Damping ratio( ζ )와 고유진동수( ω_n )로 이루어진 laplace 2차함수의 Z 변환은 역변환 시간함수로 구한다. \[ \begin{align} L[F(s)] &=  \frac{K_p e^{-θs}{ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 }\\[12pt] &=K_p\cdot f(t-θ)\cdot \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}\cdot e^{-ζω_n t} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} t \end{align} \] 라플라스 & Z 변환표를 참조하면 \[ δ(n-k)  → Z→ Z^{-k} \] \[ e^{-akT} sin⁡ω kT → Z→  \frac{e^{-aT} z^{-1}  sin⁡ω T}{1-2e^{-aT} z^{-1} cos⁡ω T+e^{-2aT} z^{-2}} \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(ζ ω_n\)이며, cos⁡ω T 의 ω는 \(ω_n \sqrt{1-ζ^2}\) 이다. \[ \begin{align} F(z)&=K_p\cdot z^{-θ}\cdot \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}\\[12pt] &\cdot \frac{e^{-ζ ω_n T}z^{-1}  sin⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2 } T}{1-2e^{-ζ ω_n T} z^{-1}  cos⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2} T+e^{-2ζ ω_n T}z^{-2}}\\[12pt] &=\frac{K_p  \frac{ω_n}{\sqrt{1-ζ^2}}e^{-ζ ω_n T} sin⁡ω_n\sqrt{1-ζ^2} T z^{-θ-1}}{1-2e^{-ζ ω_n T}  cos⁡ω_n \sqrt{1-ζ^2} T z^{-1}+e^{-2ζ ω_n T...

라플라스 모델(Laplace model)의 2차 함수(Second order)와 고유 진동수(Natural frequency)와 감쇠비(Damping ratio) 시스템 또는 함수로 나타낸 시스템에서 차수란 전달함수에서 최고차수를 의미한다. Laplace 모델에서는 laplace 연산자인 s의 차수를 의미한다. 감쇠는 시스템에서 외란이 발생한 후 시스템의 진동이 감소하는 것을 나타낸다. 외란은 일종의 입력과 같은 의미이다. 감쇠비 또는 댐핑 비율은 진동의 변화가 변화하는 것을 나타내는 것으로 ζ 로 표시한다.  ζ의 상태에 따라 시스템의 상태를 나타내는데, ζ=0인 경우에는 undamped, 0<ζ<1인 경우에는 underdamped, ζ=1인 경우에는 critically damped, ζ=1에서 ζ>1인 경우에는 overdamped된 시스템이라고 한다. 라플라스 2차 함수의 일반적인 형태는 다음과 같다. \[ laplace \ 2차 함수 =  \frac{{ω_n}^{2} }{s^{2} +2ζω_n s+{ω_n}^{2} } \] \( ω_n \)은 고유 진동수를 나타내며, ζ는 damping ration을 나타낸다. 위 함수에서 이득과 dead time 및 시간상수 또는 시상수(time constant: τ)를 추가하면 다음과 같다. Gain과 dead time이 추가된 2차 함수 \[ =  \frac{K_p e^{-θs} {ω_n}^2}{s^2+2ζω_n s+{ω_n}^2 } \] 아래와 같은 형태의 2차 전달 함수의 경우를 살펴보자.   Second order 이것을 전달함수로 나타내면 다음과 같다. \[ \frac{K_p e^{-θs}}{(1+τ_1 s)(1+τ_2 s)} \] 위 함수를 전개하면 \[ \frac{K_P e^{-θs}}{τ_1 τ_2 s^2 +(τ_1+τ_2)s+1 } \] 이처럼 2차 함수로 되어 있으며, damping ratio와 고유진동수 그리고 시상수로 이루어...

이득을 가진 데드 타임 1차 함수( First order with dead time and gain)의  Z 변환 앞에서 서술한   이득을 가진 데드 타임 1차 함수( First order with dead time and gain)의 라 플라스 변환을 Z 변환을 통한 차분 방정식(Difference Equation)을 활용하여 디지털 시스템에 적용해 보자. Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달 함수의 관계에서 이득을 가진 데드 타임 1차 함수를 대입하면 다음과 같다. \[ \begin{align} F(z) &=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac {\frac{K_p e^{-θs}}{1+τs}}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{K_p e^{-θs}}{s(1+τs)}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{K_p e^{-θs}\frac{1}{τs+1}\frac{1}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{K_p e^{-θs} \frac{1}{τ}\frac{1}{s+\frac{1}{τ}}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \] 여기서 \( e^{-θs} \)는 \(z^{-k} \)와 같으므로 \( z^{-θ}\)이고, \( K_p\)와 \(\frac{1}{τ}\)은 상수이므로   \[ =K_p  \frac{1}{τ} z^{-θ} (1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{s+\frac{1}{τ}}  \frac{1}{s}\right\} \] 로 나타낼 수 있고, \( \frac{1}{s}\)의 역변환은 \(u(t)\)...

이득을 가진 데드 타임 1차 함수( First order with dead time and gain)의 라 플라스 변환 시스템을 Laplace 전달 함수로 나타내게 되면 Laplace 연산자인 s에 따라 차수를 나타내며 최고 차수에 따라 1차, 2차, 3차 함수라고 한다. 1차 함수의 일반적인 표현은 다음과 같이 표현할 수 있다. \[ Laplace First order function=  \frac{1}{(1+s)} \] 위 식에서 시스템 이득(Kp)과 데드 타임(dead time) 그리고 시상수(time constant: τ)를 추가하면 다음과 같이 표현할 수 있다. \[ \frac{K_p e^{-θs}}{1+τs} \] Kp는 시스템 이득(Gain), θ는 dead time, τ는 시상수(Time constant)이다. 시상수는 시간 상수라고도 하며 시스템의 특성을 결정하는 주요 지표이다. 위의 수식을 전달함수 F(s)라 하고, 풀어보면 아래와 같이 나타낼 수 있다. \[ \begin{align} F(s) &=\frac{K_p e^{-θs}}{1+τs} = K_p e^{-θs}\frac{1}{τs+1} \\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{\frac{1}{τ}}{s+\frac{1}{τ}} = K_p e^{-θs}\frac{1}{τ}\frac{1}{s+\frac{1}{τ}} \end{align} \] \( \frac{1}{τ}\)를 a라고 하면, \( \frac{1}{s+\frac{1}{τ}}\)은 \(\frac{1}{s+a}\)이고 역변환하면 \(e^{-at}\) 이다. 라플라스 정의에 따라 확인해보자. \[ \begin{align} F(s) =L[f(t)] &=\int_0^∞ e^{-st} f(t)dt \\[12pt] &=\int_0^∞ e^{-st}e^{-at} dt \\[12pt] &= \int_0^∞ e^{-(s+a)t} dt \\[12pt] &=\frac{1}{s...

데드 타임과 이득( Dead time with gain) 데드 타임(Dead time) Dead time은 입력에 따라 출력이 변하는 시스템에서 입력 시점에서 출력 시점까지, 입력 변화에 따른 출력 변화가 나타나기까지 시간이 걸리는데 이 지연되는 시간을 데드 타임이라고 한다. 이러한 시스템을 모델로 만들 때 지연 특성(time shift, delay time)을 반영하고 이것을 수식으로 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있다. \[ K_{p} e^{-\theta s} \] Kp는 시스템 이득 또는 프로세스 이득(Gain)이고 θ는 데드 타임이다. 데드 타임의 라플라스 모델 위의 식을 Laplace 모델로서 시간에 대한 함수로 표현하면 \[ f(t) = K_p L(e^{(-\theta s)}) = K_p \cdot f(t-\theta) \] 여기에서 \( L(e^{(-\theta s)} ) \)의 L(  )은 괄호 안의 수식이 Laplace 영역(domain)이다. 그리고 우변 항의 \( K_p \)는 시스템 이득을 나타낸다. \( e^{(-\theta s)} \)는 지연 특성을 나타내는 것으로 \( f(t-\theta) \)로 표현할 수 있다. 이것은 연결된 함수를 θ만큼 이동한 것으로 그림으로 표현하면 아래와 같다.   지연 특성 이 함수는 \[ g(t) = \begin{cases} 0 & \ (t < \theta) \\ f(t-\theta) & \ (t\ge \theta) \end{cases} \] 으로 정의된다. 이것을 변환하면 \[ \begin{align} L[g(t)] &= \int_0^\infty e^{-st}g(t)dt \\[10pt] &= \int_0^\theta e^{-st}g(t)dt + \int_\theta^\infty e^{-st}g(t)dt \end{align} \] 우변 항의 0에서 θ구간은 0이고, θ에서 ∞구간은 \( f(t-\theta)\)이다. \[ \begi...