3. 라플라스(Laplace), 데드 타임 1차 함수와 이득(First order with dead time and gain)

이득을 가진 데드 타임 1차 함수(First order with dead time and gain)의 라플라스 변환

시스템을 Laplace 전달 함수로 나타내게 되면 Laplace 연산자인 s에 따라 차수를 나타내며 최고 차수에 따라 1차, 2차, 3차 함수라고 한다. 1차 함수의 일반적인 표현은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ Laplace First order function=  \frac{1}{(1+s)} \]

위 식에서 시스템 이득(Kp)과 데드 타임(dead time) 그리고 시상수(time constant: τ)를 추가하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ \frac{K_p e^{-θs}}{1+τs} \]

Kp는 시스템 이득(Gain), θ는 dead time, τ는 시상수(Time constant)이다. 시상수는 시간 상수라고도 하며 시스템의 특성을 결정하는 주요 지표이다.

위의 수식을 전달함수 F(s)라 하고, 풀어보면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\[ \begin{align} F(s) &=\frac{K_p e^{-θs}}{1+τs} = K_p e^{-θs}\frac{1}{τs+1} \\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{\frac{1}{τ}}{s+\frac{1}{τ}} = K_p e^{-θs}\frac{1}{τ}\frac{1}{s+\frac{1}{τ}} \end{align} \]

\( \frac{1}{τ}\)를 a라고 하면, \( \frac{1}{s+\frac{1}{τ}}\)은 \(\frac{1}{s+a}\)이고 역변환하면 \(e^{-at}\) 이다. 라플라스 정의에 따라 확인해보자.

\[ \begin{align} F(s) =L[f(t)] &=\int_0^∞ e^{-st} f(t)dt \\[12pt] &=\int_0^∞ e^{-st}e^{-at} dt \\[12pt] &= \int_0^∞ e^{-(s+a)t} dt \\[12pt] &=\frac{1}{s+a} [e^{-(s+a)t}]_0^∞ \\[12pt] &= -\frac{1}{s+a}[0-1] \\[12pt] &=\frac{1}{s+a} \end{align} \]

그러므로 \( \frac{1}{s+\frac{1}{τ}}\)의 역변환 함수는

 \[ \frac{1}{s+\frac{1}{τ}}→ L^{-1}→e^{-\frac{t}{τ}} \]

\( L^{-1}\)는 라플라스 역변환을 의미한다.

  \[ \frac{1}{s+a}→ L^{-1}→e^{-at} \]

이것은 라플라스 변환표와 같다. 앞으로는 라플라스 변환표를 사용하여 풀어보기로 하자. 역변환 과정은 다음과 같다.

\[ \begin{align} F(s) &=L[f(t)] = K_p e^{-θs} \cdot \frac{1}{τs+1} \\[12pt] &=K_p e^{-θs} \frac{1}{τs+1} \\[12pt] &=K_p e^{-θs} \frac{ \frac{1}{τ}}{s+\frac{1}{τ}} \\[12pt] &=K_p e^{-θs} \frac{1}{τ} \frac{1}{s+\frac{1}{τ}} \\[12pt] &= K_p \cdot L^{-1} [f(t-θ)] \cdot \frac{1}{τ} \cdot L^{-1}(e^{-\frac{t}{τ}}) \end{align} \]

그러므로 이득을 가진 데드 타임의 1차 함수의 역변환은

\[ f(t)=K_p \cdot f(t-θ) \cdot \frac{1}{τ} \cdot e^{-\frac{t}{τ}} \]

이다. 이것의 응답 특성을 그래프로 나타내면 다음과 같다. 이때 Gain=1, θ=0, τ=1이다.

 

Laplace First order with dead time and gain

이득을 가진 데드 타임의 1차 함수의 응답 특성은 입력이 발생하면, 입력이 발생한 시점부터 시간이 지날수록 출력이 감소하여 0에 수렴한다. 이것은 안정화되어 가는 시스템으로 지수 감소 형태의 응답 특성을 나타낸다.

응답 특성 그래프에서 기울기는 지수 함수(polynomial function) \(e^{-\frac{t}{τ}}\)의 지수 \(-\frac{t}{τ}\)에 사용된 시상수 τ에 의해 결정된다. τ의 값이 증가할수록 기울기는 완만해져 시스템이 안정한 상태(정상상태)로 수렴하는 시간이 길어지는 특성을 가지게 된다. τ 값을 다르게 입력했을 때의 응답 특성의 변화를 살펴보자.

 

Time constant

Gain=1, θ=0일때, τ1=1, τ2=2의 그래프이다. 위와 같이 1차 함수의 impulse수식에서는 τ가 그래프의 기울기와 시스템 이득에 영향을 준다.

Step input

위 그림은 1차함수의 계단함수와 역변환을 나타낸 것이다.

 

이득과 데드 타임을 가지고 있는 1차 함수에 계단 입력 \(\frac{1}{s}\)을 입력하면, 전달 함수 F(s)는 다음과 같이 나타 낼 수 있다.

\[ \begin{align} F(s) &= \frac{1}{s} \cdot \frac{K_p e^{-θs}}{1+τs} \\[12pt] &=K_p e^{-θs} \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{1+τs} \\[12pt] &=K_p e^{-θs}\cdot \frac{τ}{τs} \cdot  \frac{1}{τs+1} \\[12pt] &=K_p e^{-θs}\cdot \frac{τ}{τs(τs+1)}\\[12pt] &=K_p e^{-θs}\cdot τ\left[\frac{1}{τs(τs+1)}\right] \end{align} \]

위에서 [     ]안의 식은 다음과 같이 정리한다.

\[ \begin{align} &\frac{1}{τs(τs+1)} \\[12pt] &=\frac{1}{τs+1-τs}\left (\frac{1}{τs}-\frac{1}{τs+1}\right) \\[12pt] &=\frac{1}{1}\left(\frac{1}{τs}-\frac{1}{τs+1}\right) \end{align} \]

그러므로 전달 함수 F(s)는 

\[ \begin{align} &=K_p e^{-θs}\cdot τ\left[\frac{1}{τs}-\frac{1}{τs+1} \right] \\[12pt] &=K_p e^{-θs} \cdot \left[\frac{1}{s}-\frac{τ}{τs+1}\right] \\[12pt] &=K_p e^{-θs} \cdot \left[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{τ}}\right] \end{align} \]

이것에 라플라스 변환표를 적용해보자.

\[ \frac{1}{s} → L^{-1}→ 1 \]

\[ \frac{1}{s+a} → L^{-1}→ e^{-at} \]

전달 함수 F(s)의 역변환은 아래와 같다.

\[ \frac{1}{s} \frac{K_p e^{-θs}}{1+τs}→ L^{-1}→K_p \cdot f(t-θ) \cdot \left(1-e^{-\frac{t}{τ}}\right) \]

따라서 이득을 가진 데드 타임 1차 함수의 라플라스 모델에서 계단 입력에 따른 그래프는 아래 그림과 같다.

 

Step input Time constant

위에서 Gain=1, θ=0 및 τ=1인 시스템의 응답 특성에서 목표치를 %로 표현한 그림이다.

다시 한번 짚어보면 그래프에서 기울기는 지수 함수 \( e^{-t/τ} \)의 지수 \( -t/τ \)에 사용된 시상수 τ에 의해 결정된다. 즉, τ의 값이 증가할수록 기울기는 완만해져 시스템이 안정 상태로 수렴하는 시간이 길어지게 된다. 

이 함수(지수함수)에서 e는 오일러 수(Eulerian number)를 나타낸다. 오일러 수는 미적분을 하여도 항상 같은 값을 가진다. 오일러 수의 지수로 표현되는 함수에서 시간 t와 시상수 τ가 동일하면 \( e^{-1} \)이 된다. 이것은 \( \frac{1}{e}\)와 같으며 이를 계산하면 0.3678...의 무한 소수값이다. 이와 같이 시상수 τ를 구성하는 인자들의 값과 시간 t가 일치하는 시점을 τ라고 하며, 이를 기준으로 곡선을 해석할 수 있다.

Time constants 1 and 2

지수적으로 증가하는 그래프에서 τ는 0.632 (=1-0.368)인 63.2% 지점을 확인할 수 있다. τ의 두번째 지점인 2τ의 경우는 86.5%, 3τ는 95%, 4τ는 98.2%, 5τ는 99.3%이다. 이와 반대로 감쇄하는 경우에는 시상수의 첫 번째 지점인 τ로 0.368로서 목표값에 대해 63.2% 지점임을 확인할 수 있다. 이와 같이 τ로 목표값에 도달하는 시간을 알 수 있다. 

위의 그림은 시상수 τ1=1과 τ2=2에 따른 응답 특성이다.

 

이득을 가진 데드 타임 1차 함수의 impulse 모델과 역변환된 모델의 수식은 다음과 같다.

\[ \frac{K_{p} e^{-θs}}{1+τs} \]

\[ f(t)=K_p \cdot f(t-θ) \cdot \frac{1}{τ} \cdot e^{-\frac{t}{τ}}\]

위로부터 응답 특성과 시상수와의 관계를 나타내면 아래 그림과 같다.

 

Response characteristics Laplace first order and Time constant