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Z 변환(Z-transform), 적분과 1차 함수 그리고 데드 타임(Integrator with first order and dead time) Integrator with first order and dead time,  Laplace 모델의  Z 변환은 역변환된 시간함수로 구한다. \[ f(t)=f(t-θ)\frac{1}{τ_1} \left(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  t}\right) \] 적분과 데드타임으로 이루어진 1차 함수의 Z 변환과 특성 위의 역변환된 시간함수를 라플라스 & Z 변환표를 참조하여 변환한다. \[ δ(n-k)  → Z→ Z^{-k} \] \[ 1(k)  → Z→  \frac{1}{1-z^{-1} } \] \[ e^{-akT}  → Z→  \frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1}}  \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(\frac{τ_1}{τ_2}\) T이다. \[ \begin{align} F(z)&= z^{-θ} \frac{1}{τ_1}  \left(\frac{1}{1-z^{-1}}-\frac{1}{1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}  z^{-1}}\right)\\[12pt]&= z^{-θ}  \frac{1}{τ_1} \left\{\frac{(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}  z^{-1} )-(1-z^{-1} )}{(1-z^{-1} )(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  T}  z^{-1} } \right\}\\[12pt]&= z^{-θ} \frac{1}{τ_1}  \left\{\frac{(-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}+1) z^{-1}}{1+(-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  T}+1) z^{-1}+e^{-...

라플라스(Laplace), 적분과 1차 함수 그리고 데드 타임(Integrator with first order and dead time) Laplace 모델의 1차 함수를 살펴보자. \[ laplace \ 1차 \ 함수\ =  \ \frac{1}{1+s} \] 라플라스 1차 함수에서 적분모델 \(\frac{1}{s}\)을 가지게 되는 전달함수는 아래와 같다. \[ \frac{1}{s}\cdot \frac{1}{1+s} = \frac{1}{s+s^2} \] 적분 모델이 더해진 라플라스 1차함수에서 지연 특성을 가지는 dead time과 시상수를 추가하면 다음과 같다. \[ \frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2} \] 여기서 θ는 dead time, τ1, τ2는 시상수(Time constant)이다. 적분과 데드타임으로 이루어진 1차 함수 특성 적분과 데드 타임 그리고 시상수로 이루어진 라플라스 1차 함수를 역변환하자. \[ \begin{align} &\frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2 } \\[12pt]&→ L^{-1}→\\[12pt] &f(t-θ)\cdot \frac{1}{τ_1}  \left(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} t} \right) \end{align} \] 전달함수 F(s)의 역변환 과정은 다음과 같다. \[ \begin{align} F(s)&=\frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2 }\\[12pt]&=e^{-θs}\frac{1}{τ_1 s+τ_2 s^2}\\[12pt]&=e^{-θs} \frac{1}{s}\frac{1}{τ_2 s+τ_1}\\[12pt]&=e^{-θs}  \frac{τ_2}{τ_2 s(τ_2 s+τ_1)}\\[12pt]&=e^{-θs}  τ_2 \left\{\frac{1}{τ_2 s(τ_2 s+τ_1)} \right\}\\[12pt]&=e^{-θs}  τ_2 ...

Z 변환(Z-transform), 적분과 데드타임(Integrator with dead time) 계단 함수(Step function)의 정의를 살펴보자. \[ f(t)=\begin{cases} 1 & (t≥0) \\ 0 & (t<0) \end{cases} \] 계단함수의 Z 변환은 아래와 같이 표현된다. \[ \begin{align} F(z)&=Z[f(k)]=\sum_{k=0}^∞ z^{-k}\\[12pt]&=1+z^{-1}+z^{-2}+⋯\\[12pt]&=  \frac{1}{1-z^{-1} } \end{align} \] 계단함수의 Z변환은 아래와 같다. \[ Z[f(t-nT)]=z^{-n} F(z)\] 적분과 데드타임으로 이루어진 Z 변환 함수의 특성 계단 함수 x(kT)를 1T만큼 지연 시킨 함수 x(k-T)는 아래와 같다. \[ x(k-T)=\begin{cases}1   & (k≥T) \\ 0   & (k<T) \end{cases} \] 이것을 Z 변환으로 표현하면 다음과 같다. \[ Z[x(kT-T)]=z^{-1} Z[x(kT)]= \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \] 시간 지연을 가지는 함수로 표현하자. \[ \begin{align} L\left(\frac{e^{-θs}}{τS}\right)&=e^{-θs}\cdot \frac{1}{τ}\cdot \frac{1}{s}\\[12pt]&=\frac{1}{τ}\cdot Z[f(kT-θT)\cdot 1(k)]\\[12pt]&=Kp\cdot z^{-θ} Z[1(k)]= \frac{ \frac{1}{τ}\cdot z^{-θ}}{1-z^{-1} } \end{align} \] 차분 방정식 형태로 나타내자. \[ F(z)=\frac{Output(zero-state response)}{Input}=\frac{Y(z)}{X(z)}\] \[ (Input)Y(z)=(Output)...

라플라스(Laplace), 적분과 데드타임(Integrator with dead time) 적분은 특정 구간에서 함수의 넓이를 구할 때 사용한다. 함수 f(t)에 \(e^{-st}\)를 곱해 0에서 t까지 적분하였을 때 적분 값이 존재하는 경우에 이것을 라플라스 적분 함수라고 하고, s에 관한 함수로 표현한다. 함수 f(x)를 시간 0에서 t까지 적분하는 함수는 다음과 같다. \[ \int_0^t f(x)  dx=u,  u'=f(t) \] \[ e^{-st}=v',v= -\frac{1}{s }e^{-st} \] \[ \int u v'=u v- \int u' v \] 라플라스 정의에 따라 변환하면 다음과 같다. \[ \begin{align} L\left[\int_0^t f(x)  dx\right]&=\int_0^∞\left[\int_0^t f(x)dx\right]  e^{-st} dt\\[12pt]&=\left[-\frac{1}{s} e^{-st}  \int_0^t f(x) dx\right]_0^\infty - \int_0^∞ \left[-\frac{1}{s} e^{-st} \right]f(t)dt\\[12pt]&=\frac{1}{s} \int_0^∞ f(t) e^{-st} dt=\frac{1}{s} F(s) \end{align} \] 적분과 데드타임 함수의 응답특성 \(\frac{1}{s}\)은 적분 함수로 나타내며, 지연 특성의 dead time과 시상수 형태의 적분 함수는 다음과 같다. \[ \frac{e^{-θs}}{τs} \] 위의 함수에서 θ는 dead time, τ는 시상수(Time constant)이다. Dead time θ와 시상수 τ를 가지는 \(\frac{e^{-θs}}{τs}\)는 다음과 같다. \[ \begin{align} L\left[\frac{1}{τ} u(t-θ)\right]&=\int_0^∞ e^{-st}  \frac{1}{τ} u(t-θ)d...

이득을 가진 데드 타임 1차 함수( First order with dead time and gain)의  Z 변환 앞에서 서술한   이득을 가진 데드 타임 1차 함수( First order with dead time and gain)의 라 플라스 변환을 Z 변환을 통한 차분 방정식(Difference Equation)을 활용하여 디지털 시스템에 적용해 보자. Laplace 변환과 Z 변환에서 설명한 전달 함수의 관계에서 이득을 가진 데드 타임 1차 함수를 대입하면 다음과 같다. \[ \begin{align} F(z) &=Z\left\{(1-z^{-1})\frac{F(s)}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{\frac{F(s)}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac {\frac{K_p e^{-θs}}{1+τs}}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1} )Z\left\{ \frac{K_p e^{-θs}}{s(1+τs)}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{K_p e^{-θs}\frac{1}{τs+1}\frac{1}{s}\right\} \\[12pt] &=(1-z^{-1})Z\left\{K_p e^{-θs} \frac{1}{τ}\frac{1}{s+\frac{1}{τ}}\frac{1}{s}\right\} \end{align} \] 여기서 \( e^{-θs} \)는 \(z^{-k} \)와 같으므로 \( z^{-θ}\)이고, \( K_p\)와 \(\frac{1}{τ}\)은 상수이므로   \[ =K_p  \frac{1}{τ} z^{-θ} (1-z^{-1})Z\left\{\frac{1}{s+\frac{1}{τ}}  \frac{1}{s}\right\} \] 로 나타낼 수 있고, \( \frac{1}{s}\)의 역변환은 \(u(t)\)...

이득을 가진 데드 타임 1차 함수( First order with dead time and gain)의 라 플라스 변환 시스템을 Laplace 전달 함수로 나타내게 되면 Laplace 연산자인 s에 따라 차수를 나타내며 최고 차수에 따라 1차, 2차, 3차 함수라고 한다. 1차 함수의 일반적인 표현은 다음과 같이 표현할 수 있다. \[ Laplace First order function=  \frac{1}{(1+s)} \] 위 식에서 시스템 이득(Kp)과 데드 타임(dead time) 그리고 시상수(time constant: τ)를 추가하면 다음과 같이 표현할 수 있다. \[ \frac{K_p e^{-θs}}{1+τs} \] Kp는 시스템 이득(Gain), θ는 dead time, τ는 시상수(Time constant)이다. 시상수는 시간 상수라고도 하며 시스템의 특성을 결정하는 주요 지표이다. 위의 수식을 전달함수 F(s)라 하고, 풀어보면 아래와 같이 나타낼 수 있다. \[ \begin{align} F(s) &=\frac{K_p e^{-θs}}{1+τs} = K_p e^{-θs}\frac{1}{τs+1} \\[12pt] &= K_p e^{-θs}\frac{\frac{1}{τ}}{s+\frac{1}{τ}} = K_p e^{-θs}\frac{1}{τ}\frac{1}{s+\frac{1}{τ}} \end{align} \] \( \frac{1}{τ}\)를 a라고 하면, \( \frac{1}{s+\frac{1}{τ}}\)은 \(\frac{1}{s+a}\)이고 역변환하면 \(e^{-at}\) 이다. 라플라스 정의에 따라 확인해보자. \[ \begin{align} F(s) =L[f(t)] &=\int_0^∞ e^{-st} f(t)dt \\[12pt] &=\int_0^∞ e^{-st}e^{-at} dt \\[12pt] &= \int_0^∞ e^{-(s+a)t} dt \\[12pt] &=\frac{1}{s...

데드 타임과 이득( Dead time with gain) 데드 타임(Dead time) Dead time은 입력에 따라 출력이 변하는 시스템에서 입력 시점에서 출력 시점까지, 입력 변화에 따른 출력 변화가 나타나기까지 시간이 걸리는데 이 지연되는 시간을 데드 타임이라고 한다. 이러한 시스템을 모델로 만들 때 지연 특성(time shift, delay time)을 반영하고 이것을 수식으로 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있다. \[ K_{p} e^{-\theta s} \] Kp는 시스템 이득 또는 프로세스 이득(Gain)이고 θ는 데드 타임이다. 데드 타임의 라플라스 모델 위의 식을 Laplace 모델로서 시간에 대한 함수로 표현하면 \[ f(t) = K_p L(e^{(-\theta s)}) = K_p \cdot f(t-\theta) \] 여기에서 \( L(e^{(-\theta s)} ) \)의 L(  )은 괄호 안의 수식이 Laplace 영역(domain)이다. 그리고 우변 항의 \( K_p \)는 시스템 이득을 나타낸다. \( e^{(-\theta s)} \)는 지연 특성을 나타내는 것으로 \( f(t-\theta) \)로 표현할 수 있다. 이것은 연결된 함수를 θ만큼 이동한 것으로 그림으로 표현하면 아래와 같다.   지연 특성 이 함수는 \[ g(t) = \begin{cases} 0 & \ (t < \theta) \\ f(t-\theta) & \ (t\ge \theta) \end{cases} \] 으로 정의된다. 이것을 변환하면 \[ \begin{align} L[g(t)] &= \int_0^\infty e^{-st}g(t)dt \\[10pt] &= \int_0^\theta e^{-st}g(t)dt + \int_\theta^\infty e^{-st}g(t)dt \end{align} \] 우변 항의 0에서 θ구간은 0이고, θ에서 ∞구간은 \( f(t-\theta)\)이다. \[ \begi...