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데드 타임과 이득( Dead time with gain) 데드 타임(Dead time) Dead time은 입력에 따라 출력이 변하는 시스템에서 입력 시점에서 출력 시점까지, 입력 변화에 따른 출력 변화가 나타나기까지 시간이 걸리는데 이 지연되는 시간을 데드 타임이라고 한다. 이러한 시스템을 모델로 만들 때 지연 특성(time shift, delay time)을 반영하고 이것을 수식으로 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있다. \[ K_{p} e^{-\theta s} \] Kp는 시스템 이득 또는 프로세스 이득(Gain)이고 θ는 데드 타임이다. 데드 타임의 라플라스 모델 위의 식을 Laplace 모델로서 시간에 대한 함수로 표현하면 \[ f(t) = K_p L(e^{(-\theta s)}) = K_p \cdot f(t-\theta) \] 여기에서 \( L(e^{(-\theta s)} ) \)의 L(  )은 괄호 안의 수식이 Laplace 영역(domain)이다. 그리고 우변 항의 \( K_p \)는 시스템 이득을 나타낸다. \( e^{(-\theta s)} \)는 지연 특성을 나타내는 것으로 \( f(t-\theta) \)로 표현할 수 있다. 이것은 연결된 함수를 θ만큼 이동한 것으로 그림으로 표현하면 아래와 같다.   지연 특성 이 함수는 \[ g(t) = \begin{cases} 0 & \ (t < \theta) \\ f(t-\theta) & \ (t\ge \theta) \end{cases} \] 으로 정의된다. 이것을 변환하면 \[ \begin{align} L[g(t)] &= \int_0^\infty e^{-st}g(t)dt \\[10pt] &= \int_0^\theta e^{-st}g(t)dt + \int_\theta^\infty e^{-st}g(t)dt \end{align} \] 우변 항의 0에서 θ구간은 0이고, θ에서 ∞구간은 \( f(t-\theta)\)이다. \[ \begi...

라플라스 변환 (Laplace transform) 함수 f(t)에 \( e^{-st} \)를 곱해 t=0에서 t=∞까지 t에 대해 적분하였을 때, 적분값이 존재하는 경우에는 s에 관한 함수로 표현되며 s에 대한 새로운 함수를 함수 f(t)의 라플라스 변환(Laplace transform)이라고 한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다. \[ F(s)=L[f(t)]=\int_{0+}^\infty e^{-st} f(t)dt \] 수식에서 s는 복소변수로서 라플라스 연산자(Laplace operator)이며, 적분이 존재하는 범위의 값이다.  함수 f(t)는 0보다 크며(t>0+으로 표현), 연속적이거나 유한개의 불연속점으로 이루어진 조각 또는 부분연속(piecewise continuous)이어야 한다.  여기서 0+의 범위는 적분이 존재하기 위해 함수 f(t)는 0이 아니어야 하므로 0에 무한히 접근한다는 의미이다. 앞으로는 0으로 표현한다. 함수 f(t)는 시간함수이며 f(t)에 대한 라플라스 변환은 e^(-st)의 변수 s와 t에서 시간 t에 대한 적분으로서 s의 함수가 되므로 F(s)로 표현한다.  단위는 시간의 역수가 되어 주파수 단위와 같아지므로 주파수 영역(frequency domain) 또는 함수 F(s)로 표기되는 s-영역(s-domain)이라고 부른다.  t가 0이상일 때 1의 값을 가지는 함수 u(t)가 있을 때 이를 라플라스 함수로 변환해보면 다음과 같다. \[ u(t) = \begin{cases} 0 & \ (t<0) \\ 1 & \, \, (t \ge 0) \end{cases} \] 계단함수(Step function) 정의 Step function 특정 시점 이후에 일정한 값을 유지하는 함수를 계단함수라 한다. 계단함수 u(t)를 라플라스 정의에 따르면 다음과  같다. \[ \begin{align} L[u(t) &= \int_0^\infty u...