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Z 변환(Z-transform), 적분과 1차 함수 그리고 데드 타임(Integrator with first order and dead time) Integrator with first order and dead time,  Laplace 모델의  Z 변환은 역변환된 시간함수로 구한다. \[ f(t)=f(t-θ)\frac{1}{τ_1} \left(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  t}\right) \] 적분과 데드타임으로 이루어진 1차 함수의 Z 변환과 특성 위의 역변환된 시간함수를 라플라스 & Z 변환표를 참조하여 변환한다. \[ δ(n-k)  → Z→ Z^{-k} \] \[ 1(k)  → Z→  \frac{1}{1-z^{-1} } \] \[ e^{-akT}  → Z→  \frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1}}  \] δ(n-k)에서 횟수 n은 시간 t이고, 지연횟수 k는 지연시간 θ이고, \(e^{-akT}\)의 a는 \(\frac{τ_1}{τ_2}\) T이다. \[ \begin{align} F(z)&= z^{-θ} \frac{1}{τ_1}  \left(\frac{1}{1-z^{-1}}-\frac{1}{1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}  z^{-1}}\right)\\[12pt]&= z^{-θ}  \frac{1}{τ_1} \left\{\frac{(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}  z^{-1} )-(1-z^{-1} )}{(1-z^{-1} )(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  T}  z^{-1} } \right\}\\[12pt]&= z^{-θ} \frac{1}{τ_1}  \left\{\frac{(-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} T}+1) z^{-1}}{1+(-e^{-\frac{τ_1}{τ_2}  T}+1) z^{-1}+e^{-...

라플라스(Laplace), 적분과 1차 함수 그리고 데드 타임(Integrator with first order and dead time) Laplace 모델의 1차 함수를 살펴보자. \[ laplace \ 1차 \ 함수\ =  \ \frac{1}{1+s} \] 라플라스 1차 함수에서 적분모델 \(\frac{1}{s}\)을 가지게 되는 전달함수는 아래와 같다. \[ \frac{1}{s}\cdot \frac{1}{1+s} = \frac{1}{s+s^2} \] 적분 모델이 더해진 라플라스 1차함수에서 지연 특성을 가지는 dead time과 시상수를 추가하면 다음과 같다. \[ \frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2} \] 여기서 θ는 dead time, τ1, τ2는 시상수(Time constant)이다. 적분과 데드타임으로 이루어진 1차 함수 특성 적분과 데드 타임 그리고 시상수로 이루어진 라플라스 1차 함수를 역변환하자. \[ \begin{align} &\frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2 } \\[12pt]&→ L^{-1}→\\[12pt] &f(t-θ)\cdot \frac{1}{τ_1}  \left(1-e^{-\frac{τ_1}{τ_2} t} \right) \end{align} \] 전달함수 F(s)의 역변환 과정은 다음과 같다. \[ \begin{align} F(s)&=\frac{e^{-θs}}{τ_1 s+τ_2 s^2 }\\[12pt]&=e^{-θs}\frac{1}{τ_1 s+τ_2 s^2}\\[12pt]&=e^{-θs} \frac{1}{s}\frac{1}{τ_2 s+τ_1}\\[12pt]&=e^{-θs}  \frac{τ_2}{τ_2 s(τ_2 s+τ_1)}\\[12pt]&=e^{-θs}  τ_2 \left\{\frac{1}{τ_2 s(τ_2 s+τ_1)} \right\}\\[12pt]&=e^{-θs}  τ_2 ...